拉普拉斯反变换的求解方法部分分式分解法对线性系统而言，象函数Qm-1 +...+bS+b.N(s)b.Sm+bF(s)=D(s) a,S" +an-,Sn- +...+a,S+ao式中D(S)称为F(s)的特征多项式，方程D(S)-0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率或自然频率）。n个特征根p.称为F(s)的极点D(s)= a,(s-p)(s-p2)...(s-pn)
一、 部分分式分解法 拉普拉斯反变换的求解方法 对线性系统而言，象函数 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n N s b S b S b S b F s D s a S a S a S a − − − − + + + + = = + + + + 式中D(s)称为F(s)的特征多项式，方程D(s)=0称为特 征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率 （或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。 ( ) ( )( ) ( ) n 1 2 pn D s = a s −p s −p s −
1.D（s）=0的根均为单实根KK,KK-2-F(s) =s-pis-ps-p2s-pn式中k; =(s-p)F(s)(i=1,2,...n）S=P则epntf(t) = K,epl + K,ep2' +...+ K
式中 1. D( s ) = 0的根均为单实根 i ( ) ( ) i i s p k s p F s = = − ( i = 1，2，n ) 则 p t p t p t f t K 1 K 2 K n ( ) e e e = 1 + 2 ++ n = − = − + + − + − = n i i i n n s p K s p K s p K s p K F s 2 1 2 1 1 ( )
+4例:设 F(s)=，求f(t)。s(s+1)(s +2)解：将F(s）写成部分分式展开形式$+4KK2 K,F(s)=S+2s(s+l)(s+2)sS+1S+4=2K, = sF(s).- = (s+1)(s+2)其中S=0S+4K, =(s+1)F(s)=-3s(s+2)S=-1S+4=1K, =(s+2)F(s)s(s+1)S=-2所以 F(s)=2+-3 +-则f(t)=(2-3e-+e-21)u(t)S+2ss+1
例: 设 ，求f ( t )。 4 ( ) ( 1)( 2) s F s s s s + = + + 解: 将F(s)写成部分分式展开形式 4 1 2 3 ( ) ( 1)( 2) 1 2 s K K K F s s s s s s s + = = + + + + + + 其中 1 0 0 4 ( ) 2 ( 1)( 2) s s s K sF s s s = = + = = = + + 所以 2 3 1 ( ) 1 2 F s s s s − = + + + + 则 2 ( ) (2 3e e ) ( ) t t f t t − − = − + 2 1 1 4 ( 1) ( ) 3 ( 2) s s s K s F s s s = − = − + = + = = − + 3 2 2 4 ( 2) ( ) 1 ( 1) s s s K s F s s s = − = − + = + = = + u(t)
s3 +5s?+9s+1思考：若 F(s)怎么处理？三s? +3s+2解决办法：Sm-l +...+b,S+bobmSmN(s)+b1771-F(s)=D(s)Sn-Sn-l +...+aS+aoa,S"+a若出现m≥n的情况，可用长除法将分子中的高次项提出，余下的部分满足m<n，仍按以上方法分析即N.(s)NISsm-n-l +...+B,s+ Bom-nF(SB+BSm-n-j+m-D(s)D(s)有理真拉氏反变换为冲激分式函数及其各阶导数
若出现m≥n的情况，可用长除法将分子中的高次 项提出，余下的部分满足m<n，仍按以上方法分析。 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n N s b S b S b S b F s D s a S a S a S a − − − − + + + + = = + + + + 思考：若 怎么处理？ 3 2 2 5 9 1 ( ) 3 2 s s s F s s s + + + = + + 解决办法： 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 D s N s B s B s B s B D s N s F s m n m n m n = = m n + + + + + − − − − − − 有理真 拉氏反变换为冲激 分式 函数及其各阶导数
对F（S）先进行长除，然后将其真分式展成部分分式5s-34F(s)= s+2+2S+Xs? +3s+2S+2S+1f(t) = 8(t)+ 28(t)+(5e-21 - 4e-')u(t)
对F(s)先进行长除，然后将其真分式展成部分分式 1 4 2 5 2 3 2 3 ( ) 2 2 + − + + = + + + + − = + + s s s s s s F s s ( ) ( ) 2 ( ) (5 4 ) ( ) 2 f t t t e e u t − t −t = + + −