《现代控制理论》课程教学资源——参考资料_第六章 线性反馈系统的时间域综合

解决两个问题寻求可配置的条件：设计算法：确定反馈增益矩阵K的算法。相关数学基础循环矩阵：方阵A的特征多项式等同于其最小多项式特性：（1）A为循环矩阵当且仅当它的约当规范形中，相应于每一个不同的特征值仅有一个约当块

A K A

(2)如果A的所有特征值为两两相异，则A必定是循环的（充分条件）。（3）若A为循环矩阵，则必存在一个n维向量b使向量组「b，Ａb，，Ａ"-'b张满整个n维空间，也即A,b为完全能控对。（4）若A,B为能控，且A为循环，则对几乎任意的为能控。p×l实向量 p，单输入矩阵对(A,Bp

A A A b   1 , , , n b A b A b    A , b   A, B p1  A,B A

（5）若A非循环的，但(A,B)为能控，则对几乎任意的p×n常阵K，A-BK为循环。极点配置定理一可配置的条件结论：线性定常系统可通过线性状态反馈任意配置其全部极点的充分必要条件是：系统为完全能控

p n

证明：（1）必要性：反证法A12AcA= PAP-1设[A，B]不完全能控，结构分解A0B.B=PB=0K =[K,K,]det(sI - A + BK) = det(sI - A + BKP-l)sI -Ac +B.K1 -A12 +BcK2= det0sI - Ac= det(sI - Ac + B.K))det(sI - Aa)K = KP-1 =[Ki,K2]这表明：不论K取何值，不可控部分的极点是不能配置的

证明：（1）必要性：反证法 设{A，B}不完全能控，结构分解 这表明：不论K取何值，不可控部分的极点是不能配置的。 12 1 0 0 c c c A A A PAP A B B PB                  1 2 1 1 12 2 1 1 1 2 [ , ] det( ) det( ) det 0 det( )det( ) [ , ] c c c c c c c K K K sI A BK sI A BKP sI A B K A B K sI A sI A B K sI A K KP K K                          

（2）充分性：SISO：若A，b)能控，则可任意配置（A-bk）的极点。(A, b) -P-x(A,b)01000001A= P-IAP =.0001-αo-α,-α2Qb = P-b =[0, 0, ...1]′α(s) =det(s - A) = s" +αn-isn-I +..-+αjs+αo

（2）充分性： SISO：若{A, b}能控，则可任意配置（A-bk）的极点。 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 0 { , } { , } 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 [0,0, 1] ( ) det( ) x P x n T n n n A b A b A P AP b P b s sI A s s s                                               