在051期间:1010)+=n=24 t=1秒时,()=A 此间()波形为抛物线,从0增加到A,曲线向上凹 在15152期间:()=()+M3≈1+1[-Dxh=-5+3A t=2秒时,i(2) 此间()线性下降,由A降至-A 在25153期间:m()=(2)+7 Z4=+5=2+5A 秒时,i(3) 在3≤1≤4期间:m()=(3)+,05M=元+(4-)、25N t=4秒时,(4)=A 此间()波形为按抛物线上升,曲线向下凹,从A增加到A。 在t>4时,v()为零,因而()=A。 根据以上分析结果画出)波形,如图b所示。 三、电感的串联 与电阻串联一样,上图为电感串联电路,假设电压、电流参考方 向关联,由电感元件的VAR可得: l4=L12,42=L2,,l1=L4,…,un=Ln,由K得 l=l1+l+…+l++ d i di d i d d i =(L1+L2+…+L…+Ln) dt 所以,串联等效电感为:L=L+L2+L+L+L+Ln=∑L 任一电感上的电压为:u(0=E4(),k=12L,n
6 在0 £ t £1期间 A t u d td L i t i t t 2 2 1 ( ) 0 1 ( ) (0) 2 0 0 = + = + = ò ò x x x t = 1秒时 i A 4 1 (1) = 此间i(t)波形为抛物线 从 0 增加到 A 4 1 曲线向上凹 在1£ t £ 2期间 A t u d dt L i t i t t 4 3 2 ( 1) 2 1 4 1 ( ) 1 ( ) (1) 1 1 = + = + - ´ = - + ò ò x x t = 2秒时 i A 4 1 (2) = - 此间i(t)线性下降 由 A 4 1 降至 A 4 1 - 在2 £ t £ 3期间 A t u d dt L i t i t t 4 5 2 2 1 4 1 ( ) 1 ( ) (2) 2 2 = + = + = + ò ò x x t = 3 秒时 i(3) A 1 4 = 在3 £ t £ 4期间 t A t u d t dt L i t i t t 2 7 2 4 (4 ) 2 1 4 1 ( ) 1 ( ) (3) 2 3 3 = + = + - = - + - ò ò x x t = 4秒时 i(4) A 1 2 = 此间i(t)波形为按抛物线上升 曲线向下凹 从 A 4 1 增加到 A 2 1 在t > 4时 u(t)为零 因而i t A 2 1 ( ) = 根据以上分析结果画出i(t)波形 如图 b 所示 三 电感的串联 与电阻串联一样 上图为电感串联电路 假设电压 电流参考方 向关联 由电感元件的 VAR 可得 u L di dt 1 = 1 ,u L di dt 2 = 2 , u L di dt k = k , u L di dt n = n 由 KVL 得 u = u1 + u2 + +uk+ +un = L di dt L di dt 1 + 2 + +L + di dt k +L di dt n = (L1 + L2 + +Lk +Ln ) di dt 所以 串联等效电感为 å= = + + + + + = n k L L L Lk Ln Lk 1 1 2 L L 任一电感上的电压为 ( ) u(t) L L u t k k = k = 1,2,L,n
式中:L=∑,生称为分压系数 四、电感的并联 L 1 电感并联电路与其等效电感 由电感的VAR及电路的KCL不难得出电感并联的等效电感为: ∑,即:电感并联电路等效电感的倒数等于相并联各电感 倒数之和。 任一电感上的电流为:4(0)=Jd=(0,式中k=12L,m,该 式称为电感并联分流公式,上称为分流系数,上式表明电感并联分 流符合反比关系 五、电容的串联 电容串联电路与其等效电容 上图为n个电容的串联电路,设电流、电压参考方向关联。根据 电容元件的电压电流约束关系得 n(0=a 1()=x[(5d u(n) i(2d2 由KVL得电容串联电路总电压: l(1)=a1(1)+l2()++l4(1)++un(1)
7 式中 L Lk k n = = å 1 , L L k 称为分压系数 四 电感的并联 由电感的 VAR 及电路的 KCL 不难得出电感并联的等效电感为 å= = n L k 1 Lk 1 1 即 电感并联电路等效电感的倒数等于相并联各电感 倒数之和 任一电感上的电流为 i t L u d L L i t k k t k ( ) = ( ) = ( ) -¥ ò 1 x x ,式中k = 1,2,L,n 该 式称为电感并联分流公式 L Lk 称为分流系数 上式表明电感并联分 流符合反比关系 五 电容的串联 上图为 n 个电容的串联电路 设电流 电压参考方向关联 根据 电容元件的电压电流约束关系得 u t C i d t 1 1 1 ( ) = ( ) ò-¥ x x u t C i d t 2 2 1 ( ) = ( ) ò-¥ x x u t C k i d k t ( ) = ( ) ò-¥ 1 x x u t C n i d n t ( ) = ( ) ò-¥ 1 x x 由 KVL 得电容串联电路总电压 u(t) = u (t) + u (t) 1 2 + +uk (t) + +u t n ( ) 电感并联电路与其等效电感
i(2d2 i(d5+…”+ CJ5d5+…+ i(2)d5 i(2)d 5M=3式中:=∑ C是n个电容串联后的等效电容,它的倒数等于n个相串联电容倒 数之和。 因流经各串联电容的电流是同一电流,有:∫(91=CO 所以,相串联的电容C4上的电压为: i()d2=-(t) 此式称为电容串联电路分压公式,其中C称为分压系数,它说明电 容串联电路分压与电容值C呈反比关系。 六、电容的并联 t】i(t u(t) b 电容并联电路与其等效电容 上图为n个电容的并联电路,由KCL及电容元件上的电流电压 微分关系可的等效电容为 C1+C2+…+Ck…+ CK 即:电容并联电路等效电容等于相并联的各电容之和。 相并联电容上的电压是同一电压,又如=1(0,推得 相并联电容C上的电流为:4=CD=1(),k=12L,n 式中C是并联后的等效总电容,上式称为电容并联分流公式,其中≌ 为分流系数,它表明电容并联电路分流与电容值C呈正比关系 七、C和L的模型(自学) 作业:P.1215-1、5-3
8 = ò-¥ 1 C1 i d t (x) x + ò-¥ 1 C2 i d t (x) x + + + ò-¥ 1 C i d k t (x) x ò-¥ + t n i d C (x) x 1 = ( + + 1 1 C1 C2 + + 1 Ck ò-¥ + t n i d C ) (x) x 1 = = = å ò-¥ ò-¥ 1 1 1 C i d C i d k k n t t (x) x (x) x 式中 1 1 C k 1 Ck n = = å C 是 n 个电容串联后的等效电容 它的倒数等于 n 个相串联电容倒 数之和 因流经各串联电容的电流是同一电流 有 i d Cu t t (x) x = ( ) ò-¥ 所以 相串联的电容Ck 上的电压为 ( ) ( ) 1 ( ) u t C C i d C u t t k k k ò-¥ = x x = 此式称为电容串联电路分压公式 其中 C Ck 称为分压系数 它说明电 容串联电路分压与电容值Ck 呈反比关系 六 电容的并联 上图为 n 个电容的并联电路 由 KCL 及电容元件上的电流电压 微分关系可的等效电容为 C = C1 + C2 + +Ck+ +Cn = Ck k n = å 1 即 电容并联电路等效电容等于相并联的各电容之和 相并联电容上的电压是同一电压 又 du dt C = i t 1 ( ) 推得 相并联电容Ck 上的电流为 i(t) C C dt du i C k k = k = k = 1,2,L,n 式中C是并联后的等效总电容 上式称为电容并联分流公式 其中C C k 为分流系数 它表明电容并联电路分流与电容值Ck 呈正比关系 七 C 和 L 的模型(自学) 作业 P. 121 5 1 5 3 电容并联电路与其等效电容
§5-2一阶电路的瞬态分析 动态电路 1.稳态 (1)不随时间发生变化; (2)周期性地变化,这一状态称为电路的稳定工作状态。 2.暂(瞬)态: 含有动态元件的电路发生“换路”(或工作条件发生变化,需经 历一个稳态到另一个稳态的过渡,此过渡过程称为暂(瞬)态过程。 例:电路如图(a)所示: 当K合上之前,i=0,u2=0,在某一时刻b合上K,则由KVL 有 即 Ri+L+-lidt 求导、整理:RC如0+LC(+(=c如~~~(二阶微分方程) 若将L短路,则有:RCm+=C、或 阶微分方程) 既然是微分方程,那么它们的解必然是随时间t而变,也就是说, 以2、u2、并不是直接达到最终的稳态(固定值),而是要经历一段 时间,我们把这种含L、C的电路称为动态电路,而将L、C元件称 为动态元件 般情况下,当电路中含有: 个储能元件→描述为一阶微分方程 二个储能元件→描述为二阶微分方程 二 一阶电路 二阶电路 n个储能元件→描述为n阶微分方程 n阶电路 二、动态电路的特点 设有电路,如图(b)。当κ0,S打在1,st)R E对C充电,n↑=E,达到一种稳定状态;x S在t=0时刻打到2,C对外放电,直至放E三 U 光(v=0),从而进入另一种稳定状态 这里,S从1→>2,称之为换路,理解为瞬间
9 5 2 一阶电路的瞬态分析 一 动态电路 1 稳态 (1) 不随时间发生变化 (2) 周期性地变化 这一状态称为电路的稳定工作状态 2 暂(瞬)态 含有动态元件的电路发生 换路 (或工作条件发生变化) 需经 历一个稳态到另一个稳态的过渡 此过渡过程称为暂(瞬)态过程 例 电路如图(a)所示 当 K 合上之前 i = 0 uR = 0 在某一时刻 t 合上 K 则由 KVL 有 uR + u L + uC = us 即 Ri L di dt C + + ò idt = us 1 求导 整理 dt du i t C dt di t LC dt di t RC s + + ( ) = ( ) ( ) 2 2 (二阶微分方程) 若将 L 短路 则有 RC di dt i C du dt s + = (一阶微分方程) 既然是微分方程 那么它们的解必然是随时间 t 而变 也就是说 uR uL uC 并不是直接达到最终的稳态(固定值) 而是要经历一段 时间 我们把这种含 L C 的电路称为动态电路 而将 L C 元件称 为动态元件 一般情况下 当电路中含有 一个储能元件®描述为一阶微分方程 一阶电路 二个储能元件®描述为二阶微分方程 二阶电路 n 个储能元件® 描述为 n 阶微分方程 n 阶电路 二 动态电路的特点 设有电路 如图(b) 当 t<0 S 打在 1 E 对 C 充电 uC E 达到一种稳定状态 S 在 t 0 时刻打到 2 C 对外放电 直至放 光(uC = 0 ) 从而进入另一种稳定状态 这里 S 从 1®2 称之为换路 理解为瞬间
完成。电路的接通或断开、电路参数或电源的突变均可理解为换路。 S在1时,称为换路前,记为t=0 S在2时,称为换路后,记为t=04 可以看到,S从1打到2后,欲使v=0,需要一定时间,这个过 程就称为过渡过程或暂态过程。 同理:若R改为R’,或C改为C’,则参数改变后,也要有 过渡。 结论:当动态电路的结构或元件参数发生改变时,如电源或无源 元件断开或接入,信号的突然注入等,电路将从一个稳定状态逐步 过渡到另一个稳定状态,这中间的过程即是过渡过程。(P,102画线) 三、初始条件 若有n阶微分方程:a1()+a2-n()+…+an1f(0)+an=b 欲求f(),必须事先知道:f(o)f'0)…,f(0)(即初始值) 对于动态电路:即为v0.),(0,)及其导数n2-(0,),-(0,)。 四、换路定理 1.电容 由()=n()二[4k,令:=0,1=0 l(0,)=l2(0)+ Co'c(5dE 只要为有限值,必有:(M=0 ∴v(0)=u(0,)——换路定理 即:在换路的一瞬间,电容上的电压不会跃变 若u(0)=0则u0,)=0,这一瞬间,C被短路→()=u(a) 2.电感 有i4(0)=i1(0)——换路定理二 即:在换路的一瞬间,电感上流动的电流不会跃变 若i()=0,则(0)=0,即在t=0,这一时刻,电感相当于开路 l2(1)=i2(0.) 五、初始值的求解 1.由t=0的电路求u(0),i1(0) 若1=0-时电路已达稳态,则∫L--短路 开路 于是,0_电路→0电阻电路
10 完成 电路的接通或断开 电路参数或电源的突变均可理解为换路 S 在 1 时 称为换路前 记为 = 0- t S 在 2 时 称为换路后 记为t = 0 可以看到 S 从 1 打到 2 后 欲使uC = 0 需要一定时间 这个过 程就称为过渡过程或暂态过程 同理 若 R 改为 R 或 C 改为 C 则参数改变后 也要有一 过渡 结论 当动态电路的结构或元件参数发生改变时 如电源或无源 元件断开或接入 信号的突然注入等 电路将从一个稳定状态逐步 过渡到另一个稳定状态 这中间的过程即是过渡过程 (P.102 画线) 三 初始条件 若有 n 阶微分方程 a f t a f t an f t an b n n + + + - + = - ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 1 欲求 f (t) 必须事先知道 (0) (0) (0) -1 ¢ n f f f (即初始值) 对于动态电路 即为 (0 ) u + (0 ) + i 及其导数 (0 ) 1 + n - u (0 ) 1 + n- i 四 换路定理 1 电容 由 ò = + t t c c o c o i d C u t u t (x) x 1 ( ) ( ) 令 o = 0- t = 0+ t u u C c (0 ) c (0 ) i c ( )d 1 0 0 + = - + - + ò x x 只要i c为有限值 必有 1 0 0 0 C i c (x)dx - + ò = uc uc (0 ) (0 ) - = + ──换路定理一 即 在换路的一瞬间 电容上的电压不会跃变 若uc (0- ) = 0 则uc (0+ ) 0 这一瞬间 C 被短路Þu t u t c c ( ) ( ) 0 - 0 + = 2 电感 有 i L (0+ ) = i L (0 ) - ──换路定理二 即 在换路的一瞬间 电感上流动的电流不会跃变 若i L (0- ) = 0 则i L (0+ ) = 0 即在t = 0+ 这一时刻 电感相当于开路 Þ = - ( ) 0 i t L ( ) 0 + i t L 五 初始值的求解 1 由t = 0 的电路求uc (0 ) - i L (0 ) - 若t = 0 时电路已达稳态 则 于是 0 电路 ® 0 电阻电路 î í ì 开路 短路 C L