第五、六章动态电路的瞬态分析 许多实际电路不能只用电阻和电源元件来构造模型,往往还包含 电容元件和电感元件,这两种元件的伏安关系都涉及对电流、电压 的微分和积分,称为动态元件。含动态元件的电路称为动态电路。 这两章讨论的动态电路限于一阶和二阶电路, §5一1电容元件和电感元件 、电容元件 1.电容元件及其库伏特性 工程中电容器的应用极为广泛,那么究竟什么是电容器呢? 将两块金属极板用绝缘介质隔开,就形成了一个电容器。加上电 源后,极板上分别聚集等量异号的电荷,在绝缘介质中建立起电场, 并储存有电场能量,即U->±q→>存储电场能量。 极团 板 绝缘介质 t Us 实际电容器略其介质、漏电损耗电容元件 线性电容元件:理想二端元件,在电路中的图形符合为: 由图示参考方向,有q=C(库伏关系特性) ∴库伏特性为u、q平面上的一条过原点的直线 式中,C定义为该电容元件的电容,即:C=9 单位:法(拉)F 106F 常用辅助单位: 103F纳法 102F
1 第五 六章 动态电路的瞬态分析 许多实际电路不能只用电阻和电源元件来构造模型 往往还包含 电容元件和电感元件 这两种元件的伏安关系都涉及对电流 电压 的微分和积分 称为动态元件 含动态元件的电路称为动态电路 这两章讨论的动态电路限于一阶和二阶电路 5 1 电容元件和电感元件 一 电容元件 1 电容元件及其库伏特性 工程中电容器的应用极为广泛 那么究竟什么是电容器呢 将两块金属极板用绝缘介质隔开 就形成了一个电容器 加上电 源后 极板上分别聚集等量异号的电荷 在绝缘介质中建立起电场 并储存有电场能量 即 U® q®存储电场能量 实际电容器 电容元件 线性电容元件 理想二端元件 在电路中的图形符合为 由图示参考方向 有q = Cu (库伏关系特性) 库伏特性为 u q 平面上的一条过原点的直线 式中 C 定义为该电容元件的电容 即 C q u = 单位 法(拉)F 常用辅助单位 pF F nF F F F -12 -9 -6 10 10 10 纳法 m 忽略其介质 漏电损耗
※非线性电容的特性曲线不是通过原点的直线。 2.电容元件的VAR i U 如上图:当极板间电压变化时,极板上电荷也随之改变,于是电 容器电路中出现电流。当n、关联方向时,)=血=cmQ 可见 1)C为动态元件,u变化才有i;u不变化,相当于DC时 i=0→>C开路(隔直作用) 2)由于为有限值,不会跃变; u(0=r i(e)ds+lCi(eds u (0)=Li(5)ds 则:n40)=(0)+E 记忆元件 3)m>0,且a>0,→1>0,充电q↑ d t n>0,且<0,→1<0,放电q>0,但k 又u<0,且<0,→>1<0,q<0,但↑反向充电 当u<0,且>0,→1>0,q<0,但刚反向放电 总之,↑→)同↑→某个方向充电→储存能量↑ 小→某个方向放电→释放能量↓ 3.电场能量 u、i关联方向时,电容元件吸收的功率为 (O=()×(0=Ca0,则在b=(,时间内,电容元件电 场中的能量增加量为:dW=pdh=Cl()dh() 则t~t期间外电路供给电容的能量应为: W(1)=)×(5)d5 Cu()d(t)=C2(=Cu2()-n2( 如果充电是从tn=-∞开始,即v(-∞)=0,可知电容充电到v()时, 电容的储能为
2 非线性电容的特性曲线不是通过原点的直线 2 电容元件的 VAR 如上图 当极板间电压变化时 极板上电荷也随之改变 于是电 容器电路中出现电流 当u i 关联方向时 dt du t C dt dq i t c ( ) ( ) = = 可见 1) C 为动态元件 u变化才有i u不变化 相当于 DC 时 ® i 0®C 开路(隔直作用) 2) 由于i 为有限值 uc不会跃变 ò ò = + ¥ t c i d C i d C u t 0 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) x x x x 令 ò ¥ 0 ( ) 1 (0) i x dx C uc 则 ò = + t c c i d C u t u 0 ( ) 1 ( ) (0) x x 记忆元件 3) u >0 且 du dt > 0 ®i >0 充电 q u >0 且 du dt < 0 ®i <0 放电 q > 0 但 q ¯ 又 u <0 且 du dt < 0 ®i <0 q < 0 但 q 反向充电 当 u <0 且 du dt > 0 ®i >0 q < 0 但 q ¯ 反向放电 总之 u ® q ® 某个方向充电 ® 储存能量 q ¯ ® 某个方向放电 ® 释放能量¯ 3 电场能量 u i 关联方向时 电容元件吸收的功率为 p t u t i t Cu t du t dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ´ = 则在dt (t t) = o 时间内 电容元件电 场中的能量增加量为 dW = pdt = Cu(t)du(t) 则t t o 期间外电路供给电容的能量应为 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 t 2 o o t t t t t c Cu t du t Cu t C u t u t W t u i d o o = = = - = ´ ò ò x x x 如果充电是从t o = -¥ 开始 即u(-¥) = 0 可知电容充电到u(t) 时 电容的储能为
W()=C2()≥0 某个时刻电场能量只与当时的电压值有关,而与电压建立过程无 关。总之C为储能元件,是无源元件(不会释放出比它所储能量还多 的能量) 二、电感元件 定义:如图(P%6图5-4(a)所示,把金属导线绕在一骨架上就构 成了实际的电感器(或称电感线圈)。 1.电感元件及其韦安关系 电感是反映磁场能性质的电路参数,电感元件是实际线圈的理想 化模型,假想它是由无阻导线绕制而成的线圈。当一匝线圈中通以 电流i后,在线圈内部将产生磁通(称为自感磁通),N匝相链的线 圈通过N,记v=№,ⅵ称做磁通链(或磁链),即N匝相链的线 圈通过的自感磁通之和。 和是由线圈本身的电流产生的,叫做自感磁通和自感磁通 链 L 线性电感元件的图形符号为 我们规定磁通和磁通链v的参考方向与电流参考方向之间满 足右手螺旋法则,在这种参考方向下,任何时刻线性电感元件的自 感磁通链v与电流i是成正比的。 有 (称为韦安关系 式中:L称为该元件的自感或电感,是一个正实常数,单位:亨 (H),辅助单位有:H、mH;φ、v的单位:韦伯Wb 由上式知,电感元件的特性表征为磁链v与电流i的关系(韦安特 性) 对于线性电感,在v-i平面上,特性曲线为一条通过原点的直 线,如下图(a),否则称非线性电感,如图(b)
3 ( ) 0 2 1 ( ) 2 Wc t = Cu t ³ 某个时刻电场能量只与当时的电压值有关 而与电压建立过程无 关 总之 C 为储能元件 是无源元件(不会释放出比它所储能量还多 的能量) 二 电感元件 定义 如图(P.96 图 5 4(a))所示 把金属导线绕在一骨架上就构 成了实际的电感器(或称电感线圈) 1 电感元件及其韦安关系 电感是反映磁场能性质的电路参数 电感元件是实际线圈的理想 化模型 假想它是由无阻导线绕制而成的线圈 当一匝线圈中通以 电流 i 后 在线圈内部将产生磁通fL (称为自感磁通) N 匝相链的线 圈通过 NfL 记yL = NfL yL称做磁通链(或磁链) 即 N 匝相链的线 圈通过的自感磁通之和 fL和yL 是由线圈本身的电流产生的 叫做自感磁通和自感磁通 链 线性电感元件的图形符号为 我们规定磁通fL和磁通链yL 的参考方向与电流参考方向之间满 足右手螺旋法则 在这种参考方向下 任何时刻线性电感元件的自 感磁通链yL与电流 i 是成正比的 有 Li yL = (称为韦安关系) 式中 L 称为该元件的自感或电感 是一个正实常数 单位 亨 (H) 辅助单位有 mH mH fL yL的单位 韦伯 Wb 由上式知 电感元件的特性表征为磁链yL与电流 i 的关系(韦安特 性) 对于线性电感 在y ─ i 平面上 特性曲线为一条通过原点的直 线 如下图(a) 否则称非线性电感 如图(b)
2.电感的伏安关系VAR 在电感元件中,当电流i随时间变化时,磁链v也随时间改变。 根据法拉第电磁感应定律,此时元件中产生感应电压,感应电压等 于磁链的变化率,如果取u、i关联方向时,电感的VAR为: duo di(t) l(D)= 可见:(1)L为动态元件,(变化,才有u (2)电流不变,即DC时,u=0,L相当于短路 (3)跃变( d∞)时,→l=∞∴只要u≠∞,i就不会跃变。 (4)对()式积分,可把电感的电流i表示为电压的函数 0=⊥wd=⊥ws+2ae55 令:1(0=厂.95, i()为初始电流 0)=00zJ(5d5(积分形式的VAR) 可见:L元件的0)不仅与t时刻的v(0有关,还与u的历史有关, 故L为记忆元件 对式(*)任选初始时刻n’则有 i()=i(0)+(5)d5 3.磁场能量 电感线圈中有电流时,其周围即建立磁场,因此电感是一种能存 储磁场能量的元件。 取u、i关联参考方向,则瞬时功率为 P(D)=(1)×(1)=L10)( p()可正可负,p()为正,表示电感从外电路吸收能量; p()为负,表示电感向外电路放出能量 从t到t期间供给电感的能量为 W()=u(5)xd5=5(-2(n 以上就是电感在(t,n)期间获得的储能,若t=-∞,则由于(-∞)=0, 可知t时刻,电感的储能为:W2()=L(0≥0。∴电感在某一时刻的 储能只与该时刻的电流值有关 可见:(1)L——无源元件; (2)L——储能元件,不耗能,L不会释放出比它所储能 量还多得多的能量
4 2 电感的伏安关系 VAR 在电感元件中 当电流 i 随时间变化时 磁链yL也随时间改变 根据法拉第电磁感应定律 此时元件中产生感应电压 感应电压等 于磁链的变化率 如果取 u i 关联方向时 电感的 VAR 为 dt di t L dt d t u t ( ) ( ) ( ) = = y (*) 可见 (1) L 为动态元件 (i 变化 才有 u) (2) 电流不变 即 DC 时 u = 0 L 相当于短路 (3) i 跃变( di dt ® ¥ )时 ® u = ¥ 只要u ¹ ¥ i 就不会跃变 (4) 对(*)式积分 可把电感的电流 i 表示为电压 u 的函数 ò ò ò = = + -¥ -¥ t t u d L u d L u d L i t 0 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) x x x x x x (**) 令 i L (0) u( )d 1 0 = -¥ ò x x i(0)为初始电流 i t i L u d t ( ) = ( ) + ( ) ò 0 1 0 x x (积分形式的 VAR) 可见 L 元件的i(t)不仅与 t 时刻的u(t)有关 还与 u 的历史有关 故 L 为记忆元件 对式(**)任选初始时刻t 0 则有 i t i t L u d t t ( ) = ( ) + ( ) 0 ò 1 0 x x (***) 3 磁场能量 电感线圈中有电流时 其周围即建立磁场 因此电感是一种能存 储磁场能量的元件 取 u i 关联参考方向 则瞬时功率为 dt di t p t u t i t Li t ( ) 吸 ( ) ( )´ ( ) = ( ) p(t)可正可负 p(t)为正 表示电感从外电路吸收能量 p(t)为负 表示电感向外电路放出能量 从t 0到 t 期间供给电感的能量为 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 W t u i d L i t i t t t L = ´ = - ò x x x 以上就是电感在(t 0 t)期间获得的储能 若t 0 = -¥ 则由于i(-¥) = 0 可知 t 时刻 电感的储能为 ( ) 0 2 1 ( ) 2 WL t = Li t ³ 电感在某一时刻的 储能只与该时刻的电流值有关 可见 (1) L── 无源元件 (2) L── 储能元件 不耗能 L 不会释放出比它所储能 量还多得多的能量
以上我们介绍了L与C,通过分析可知,某一时刻电感的储能只 与该时刻的电流有关,某一时刻电容的储能只与该时刻的电压有关, 电路的储能可用电感电流及电容电压来表明。我们把某一时刻的电 感电流和电容电压称为该时刻的状态。初始时刻t的1(4)和v2()称 为电路的初始状态。(P.99画线部分) 例:有一电感元件,L=0.2H,在指定的参考方向下(如图a),通 过的电流i的波形如图b所示,求电感元件中产生的自感电压u的波 形,并计算在电流增大过程中电感元件从电源吸收的能量。 t〔 t〔ms) 解:当0<t<4ms时 d i 当4ms<t<6ms时,i=2+12,u=Lm=-04 的波形如图c所示 电流增大过程中电感元件吸取的能量等于i=4ms时的磁场能 L2=×0.2×(4x10-3)2J=1.6×10-6J=1.61 0~4ms吸收 释放 例:若2H电感的电压波形如图(a)所示,试画出电流的波形 1个i t〔s t〔s 解:本题涉及积分的问题,可以先用积分求出函数表达式再画波 形。对图(a)所示v(波形可分段写出函数式如下 l(1≤t≤2) () 4-(3≤1≤4) 利用式(*)可分段计算)
5 以上我们介绍了 L 与 C 通过分析可知 某一时刻电感的储能只 与该时刻的电流有关 某一时刻电容的储能只与该时刻的电压有关 电路的储能可用电感电流及电容电压来表明 我们把某一时刻的电 感电流和电容电压称为该时刻的状态 初始时刻t 0的i t L ( ) 0 和u t C ( ) 0 称 为电路的初始状态 (P. 99 画线部分) 例 有一电感元件 L 0.2H 在指定的参考方向下(如图 a) 通 过的电流 i 的波形如图 b 所示 求电感元件中产生的自感电压 u 的波 形 并计算在电流增大过程中电感元件从电源吸收的能量 解 当0 < t < 4ms时 i = t V dt di u = L = 0.2 当4ms < t < 6ms时 i = -2t +12 V dt di u = L = -0.4 u(t)的波形如图 c 所示 电流增大过程中电感元件吸取的能量等于i = 4ms时的磁场能 Li 0.2 (4 10 ) J 1.6 10 J 1.6mJ 2 1 2 1 2 3 2 6 = ´ ´ ´ = ´ = - - 0 4ms 吸收 4ms 6ms 释放 例 若 2H 电感的电压波形如图(a)所示 试画出电流的波形 解 本题涉及积分的问题 可以先用积分求出函数表达式再画波 形 对图(a)所示u(t)波形可分段写出函数式如下 ï ï î ï ï í ì - £ £ £ £ - £ £ £ £ = 4 (3 4) 1(2 3) 1(1 2) (0 1) ( ) t t t t t t u t 利用式(***)可分段计算i(t)