第七章正弦稳态分析 简介 1.正弦波的应用:在电力、通讯与控制三大系统中,正弦波应 用极为广泛,如:电力系统中的u、i;无线电中的高频载波均为正 弦波。 2,周期性的非正弦交流信号可分解为一系列的正弦函数级数(傅 立叶级数) 3、线性电路中,在同一频率的正弦信号激励下,各电压、电流 响应也将是该频率的正弦量。 4.如果L、C在AC电路中,则L、C的VAR均具有微(积)分形 式,那么AC稳态分析时是否也要建立微分方程呢?回答是否定的。 5.由于正弦量经加、减、微分、积分运算后仍为同频率正弦量, 故利用“相量”来表征正弦量三个要素中的两个:振幅、相位,从 而使电路方程变为相量(复数)代数方程,并且可以借用的DC分析方 法 §7-1正弦电压和电流 时变的电压和电流 瞬时电压u、i 周期性方波 周期性斜波周期性交流电 周期性正弦交流量简称正弦信号。 随时间变动的电压和电流称为时变的电压和电流 二、正弦量的三个要素 设正弦电压 u(o=Um cos(ot +p,) 正弦电流 i(0=I cos(ot+P) 说明:正弦量可用余弦函数表示,也可用正弦函数表示,本书用 cOs形式表示 则 Ln、Un——(幅值)或振幅 角频率 统称为正弦量的三个要素 初相位
1 第七章 正弦稳态分析 简介 1 正弦波的应用 在电力 通讯与控制三大系统中 正弦波应 用极为广泛 如 电力系统中的u i 无线电中的高频载波均为正 弦波 2 周期性的非正弦交流信号可分解为一系列的正弦函数级数(傅 立叶级数) 3 线性电路中 在同一频率的正弦信号激励下 各电压 电流 响应也将是该频率的正弦量 4 如果 L C 在 AC 电路中 则 L C 的 VAR 均具有微(积)分形 式 那么 AC 稳态分析时是否也要建立微分方程呢 回答是否定的 5 由于正弦量经加 减 微分 积分运算后仍为同频率正弦量 故利用 相量 来表征正弦量三个要素中的两个 振幅 相位 从 而使电路方程变为相量(复数)代数方程 并且可以借用的 DC 分析方 法 7 1 正弦电压和电流 一 时变的电压和电流 周期性正弦交流量简称正弦信号 随时间变动的电压和电流称为时变的电压和电流 二 正弦量的三个要素 设正弦电压 ( ) cos( ) m u u t =U wt +j 正弦电流 ( ) cos( ) m i i t = I wt +j 说明 正弦量可用余弦函数表示 也可用正弦函数表示 本书用 cos 形式表示 则 I m Um ── (幅值)或振幅 w ── 角频率 统称为正弦量的三个要素 ji ju ── 初相位 瞬时电压u i 周期性方波 周期性斜波 周期性交流电
1.角频率、频率f周期T T—正弦量变化一个周期所需的时间 每秒变化的周期数。 故有: 正弦量变化一周,cos函数变化一周,即2x角。 于是 2 O=2丌 或 O=2rf=2:单位时间内增加的相位角。 单位:T ec秒 ms、Sns f—H、KH、MH=、GH= [Hz]= O rads弧度/秒 f:低频(音频):≤20KH 中频: 几百KHz 高频 几MHz 例:工频——大多数国家为50H,美、日等为60Hz。我国工频 ∫=501,则7=1=003s,由o=2x,得o=2m=314mad1 2.幅值(最大值)与有效值 1)有效值的定义:P.145 若一个周期电流(不限于正弦)在一个周期T内流过某电阻R所 产生的热量等于大小为Ⅰ的直流电流在这段时间T内流过上述R所 产生的热量,则I就定义为i的有效值 i Rdt=rDt dt 故有效值也称为方均根(rms)值。 ★写法规定: 瞬时值一一用小写字母u、i、u表示;
2 1 角频率w 频率 f 周期 T T ── 正弦量变化一个周期所需的时间 f ── 每秒变化的周期数 故有 T f 1 = 正弦量变化一周 cos 函数变化一周 即2p角 于是 wT = 2p Þ w 2p T = p w 2 f = 或 T f p w p 2 = 2 = 单位时间内增加的相位角 单位 T ── sec 秒 ms ms ns f ── Hz KHz MHz GHz [sec] 1 [Hz] = w ── rad/s 弧度/秒 f 低频(音频) £ 20KHz 中频 几百 KHz 高频 几 MHz 例 工频──大多数国家为 50Hz 美 日等为 60Hz 我国工频 f = 50Hz 则 S f T 0.02 1 = = 由wT = 2p 得w= 2p f = 314rad / s 2 幅值(最大值)与有效值 1) 有效值的定义 P.145 若一个周期电流i(不限于正弦)在一个周期 T 内流过某电阻 R 所 产生的热量等于大小为 I 的直流电流在这段时间 T 内流过上述 R 所 产生的热量 则 I 就定义为i的有效值 即 i Rdt I Rdt T T 2 0 2 0 ò = ò I T i dt T = ò 1 2 0 故有效值也称为方均根(rms)值 写法规定 瞬时值──用小写字母u i u2表示 T wt m I ji
有效值——用大写字母U、I、U2表示; 最大值(幅值)—U、Ln、U2表示。 ★交流表:其A、V指示的往往为有效值,如:220V,380 耐压值往往指最大值。 2)正弦量最大值与有效值的关系 如:i()= I cos(a+q), 则 a+ d t 7-0] 0.707 同理: U=√2U 因此正弦函数常写为: )=√2lcos(ar+q),m()=√2Ucos(a+q)等 3.初相位与相位差 1)ot+ 相位角,反映正弦波变化的进程,也叫相角。 如:a+q=0 则i=l a+o=60 则i=05n ar+q=900 则 Ddm+)—相角变化速度(角频率) 2)初相位:q=(x+q) 相角、初相位的S单位:弧度(rad 常用单位:度( DEGREE),计算中注意必要的转换: 2弧度=360° 初相位q取决于初始时刻的选取,计时起点不同,则初相不同 从波形上看:q=最大值与原点间的最近距离。图7-2中,若最大 值在原点右边时,a<0;若最大值在原点左边时,q>0。为了使表 达式唯一,通常在qKπ的主值范围内取值。 3)相位差 θ=两同频率正弦量的相角之差。如: u(o=U cos(ax+,) i(o=Incos(a+o) 则u、i之间的相位差:O=(ar+q2)-(o+q)=9-q 注意:不同频率时不可求O,可见:O=同频率初相之差
3 有效值──用大写字母 U I U2表示 最大值(幅值)──Um I m U2m 表示 交流表 其 A V 指示的往往为有效值 如 220V 380V 耐压值往往指最大值 2) 正弦量最大值与有效值的关系 如 ( ) cos( ) m i i t = I wt +j 则 ò ò = + + = + T i m T m i t dt T I I t dt T I 0 2 0 2 2 [ 1 cos( 2 2 ) 2 1 cos ( ) 1 w j w j = m m m I I T T I 0.707 2 0] 2 1 [ 2 - = = 同理 Um = 2U 因此正弦函数常写为 ( ) 2 cos( ) i i t = I wt +j ( ) 2 cos( ) u u t = U wt +j 等 3 初相位与相位差 1) i wt +j ── 相位角 反映正弦波变化的进程 也叫相角 如 0 wt +ji = 0 则 i I = m 0 wt +ji = 60 则 m i = 0.5I 0 wt +ji = 90 则 i = 0 ( ) i t dt d w= w +j ── 相角变化速度(角频率) 2) 初相位 0 ( ) | i = + i t= j wt j 相角 初相位的 SI 单位 弧度(rad) 常用单位 度(DEGREE) 计算中注意必要的转换 2p 弧度 = 360° 初相位ji 取决于初始时刻的选取 计时起点不同 则初相不同 从波形上看 ji 最大值与原点间的最近距离 图 7 2 中 若最大 值在原点右边时 ji < 0 若最大值在原点左边时 ji > 0 为了使表 达式唯一 通常在|ji |£ p的主值范围内取值 3) 相位差q q 两同频率正弦量的相角之差 如 ( ) cos( ) ( ) cos( ) m i m u i t I t u t U t w j w j = + = + 则u i之间的相位差 ui u i u i q = (wt +j ) - (wt +j) =j -j 注意 不同频率时不可求q 可见 q 同频率初相之差
些常见的相位关系 >0(qn>g)——u(相位)超前于i,i滞后于u O<0(<q) u滞后于i,i超前于u 6=0 u、i同相 6=±x=±90 u、i正交 6=±丌=±180° u、i反相 般θ在≤π主值范围内取值。 例:4(1)=10c0s(a+609)A,1(1)=5c0s(a-150°)A,求哪一个超前? 多少度? 解:q=60°,g2=-150° e=q-q2=60°-(-1509)=210° 主值范围 0=210°-360°=-150° i滞后2150°,i2超前动150° 又:问4、i2的有效值为多少? 10 1=五 7.07A 12=0.707×5=3535A 练习:P.1917-1 作业:P2177-1,补充一题。 补充:试计算下列各正弦波的相位差 u=10c053141+45°)和u=20co3141-20° 2.u=5c020+5°y和i=7cos(30-20°)A 3.i=-5sn(6m+109)A和i=4cos(6m-15)A
4 一些常见的相位关系 q > 0 (ju >ji ) ── u (相位)超前于i , i滞后于u q < 0 (ju <ji ) ── u滞后于i , i超前于u q = 0 ──u i同相 0 90 2 = ± = ± p q ── u i正交 q = ±p = ±180° ── u i反相 一般q在|q|£ p主值范围内取值 例 ( ) 10cos( 60 ) 1 i t = wt + ° A ( ) 5cos( 150 ) 2 i t = wt - ° A 求哪一个超前 多少度 解 = 60° j1 = -150° j2 = - = 60° - (-150°) = 210° q j1 j2 主值范围 q = 210° - 360° = -150° i 1滞后i 2 150° i 2 超前i 1 150° 又 问 1 i i 2 的有效值为多少 7.07 2 10 I 1 = = A I 2 = 0.707´ 5 = 3.535 A 练习 P.191 7 1 作业 P.217 7 1 补充一题 补充 试计算下列各正弦波的相位差 1 u = 10cos(314t + 45°)V 和u = 20cos(314t - 20°)V 2 u = 5cos(20t + 5°)V 和i = 7cos(30t - 20°)A 3 i = -5sin( 6pt +10°)A 和i = 4cos(6pt -15°)A
§7-2相量法相量图有效值相量 目的:由P.141的例子可以看到:正弦函数(三角函数)的加、减 等运算均很麻烦。当ω不变时,我们可以只关心幅值与初相这两个 要素,即引入“相量”。这样,正弦稳态电路的方程变为相量(复数) 代数方程,可引用DC分析的各种方法。因涉及复数,故首先复习 下复数。 复数简介: 、复数的几种形式 1,代数形式(直角坐标形式) 复数A=a+jb,式中:j=√-1称为虚数单位,不用表示,避免 与电流i相混 a:称为A的实部 b:称为A的虚部 均为实数,复矢量在实、虚轴上的投影 可将其在复平面上表示 Re=a,lm4=b,一般幅角主值范围在(-兀,+x)之间。 2.三角形式 “复矢量”的长度p——称为A的模(p>0); 复矢量与实轴的夹角v——称为A幅角的主值。 AU A=a+jb=pcos y+ jpsin y 即 A=Acos y+jsin y) 与代数形式的关系相比 a=pcos yr 或 √a2+ b= v所在象限由a、b的正、负号决定,而非的正负号决定,例:±4±j3 g(4+j3)4>36.9° g(4-j3)4>-36.9° arg(-4+j3)>143.1 arg(-4-j3)>-143.1° 3.指数形式 利用欧拉公式:e"=cosv+jinv 可将复数A=p(osv+ Jsin y)化为A=pe/w 4.极坐标形式
5 j + 1 a b r 7 2 相量法 相量图 有效值相量 目的 由 P.141 的例子可以看到 正弦函数(三角函数)的加 减 等运算均很麻烦 当w不变时 我们可以只关心幅值与初相这两个 要素 即引入 相量 这样 正弦稳态电路的方程变为相量(复数) 代数方程 可引用 DC 分析的各种方法 因涉及复数 故首先复习 一下复数 复数简介 一 复数的几种形式 1 代数形式(直角坐标形式) 复数 A= a + jb 式中 j = - 1称为虚数单位 不用i 表示 避免 与电流i相混 a 称为 A 的实部 b 称为 A 的虚部 可将其在复平面上表示 Re[ A] = a Im[ A] = b 一般幅角主值范围在(-p,+p)之间 2 三角形式 复矢量 的长度r──称为 A 的模(r> 0) 复矢量与实轴的夹角y──称为 A 幅角的主值 则 A = a + jb = rcosy+ jrsiny 即 A = r(cosy+ jsiny) 与代数形式的关系相比 a = rcosy 或 2 2 r = a + b b = rsiny a b y= arctg y所在象限由 a b 的正 负号决定 而非 a b 的正负号决定 例 ± 4 ± j3 arg( 4 + j3) « 36.9° arg( 4 - j3) « -36.9° arg( -4+ j3) «143.1° arg( -4- j3) « -143.1° 3 指数形式 利用欧拉公式 e cosy jsiny j = + 可将复数 A = r(cosy+ jsiny)化为 y r j A= e 4 极坐标形式 均为实数 复矢量在实 虚轴上的投影