情形2a×b/1b'×b,即(a',b,b)=0. 当P(u,)点在曲面上沿一条直母线 移动时，参数v变化，T只改变长度，不 改变方向即 i= 方× r =a(u)+vb(u) 1×下1 保持不变 rxr,=a'xb+vb'xb, 这说明P点沿着直母线移动时，它 的法向量（或切平面）不变，此时直纹面 沿一条直母线有同一个切平面 当P点在直纹面的一条直母线上移动时，不变，变，法向 量变化如下： a)×b不平行b×b,即(d,b,b)≠0，法向量改变方向 b)×b平行于b×b,即(，b,b)=0,法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面
b(u) a(u) o ( ) C r a(u) vb(u) = + 情形2 a b b b ' / / ' , 即 ( ', , ') 0. a b b = 当P(u,v)点在曲面上沿一条直母线 移动时,参数v变化， 只改变长度,不 改变方向.即 保持不变. 这说明P点沿着直母线移动时,它 的法向量(或切平面)不变,此时直纹面 沿一条直母线有同一个切平面. u v r r | | u v u v r r n r r = ' ' u v r r a b vb b = + ， 当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向 量变化如下： a) ， 法向量改变方向. b) ，法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面. a b b b a b b 不平行 , ( , , ) 0 即 a b b b a b b = 平行于 , ( , , ) 0 即
4.直纹曲面的高斯曲率 F=a(u)+vb(0元x元=dxb+vbxb, 由=d(w)+vb'(u）,元=b(u0 a'xb+vb'xb n= m=d'(u+vb'（(u),n=b'(w,元nm=0 EG-F2 L=万万=6'b62+a6,)+5"a,6+(aai EG-F2 M=元万=@x6-bg6,62，N=后i=0 VEG-F2V√EG-F2 K= LN-M2-M2 (a,b,B)2 EG-F2EG-F2(EG-F2)2 因此对于情形)有(d,b,b)≠0，K<0(双曲点) b)有(，b,b)=0,K=0(抛物点或平点). 另外：沿着直纹面的直母线，k,=kcos9=0,则一定是直纹面的渐 近线即直纹面的直母线一定是渐近曲线.（飞，=”=0.k,=O)
4. 直纹曲面的高斯曲率 由 r a (u) vb (u) , u = + r b(u) v = ( ) ( ), uu r a u vb u = + 0 ruv = b(u), rvv = , 0. ( ) ( , , ) 2 2 = = − = − = = N r n EG F a b b EG F a b b M ru v n vv 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , , ) EG F a b b EG F M EG F LN M K − = − − − = − − = 因此对于情形 a) 有 ，K<0 (双曲点). b) 有 ，K= 0 (抛物点或平点). (a ,b,b) 0 (a ,b,b) = 0 r a(u) vb(u) = + ' ' u v r r a b vb b = + ， 2 2 ( '', ', ) [( '', , ) ( '', , )] ( '', ', ) . uu b b b v a b b b a b v a a b L r n EG F + + + = = − 2 a b vb b ' ' n EG F + = − 另外:沿着直纹面的直母线, 则一定是直纹面的渐 近线,即直纹面的直母线一定是渐近曲线. cos 0, n k k = = II ( 0, 0) I k k n n = = =
5.腰曲线 (C) 考虑两条无限邻近的直母线的相 b(u+△ 互位置，先定义直纹面的腰曲线 F+△ 定义当l是过导线上点(u)的直母线 a(u+Xu) b(u) 1'是过导线上a()邻近一点a(u+△0 M 的直母线，作和1'的公垂线，垂足分别 为M和M',公垂线MM'的垂足M当 △u→0时沿直母线1趋向于极限位置M,称为直母线1上的腰点， 腰点的轨迹称为腰曲线 M的向径为 r=d(0）+b(u), M'的向径为F+△r=a(u+△W)+(v+△v)b(u+△u) =d(w)+△a(u)+(v+△v)b()+△b(u), 由以上两式得MM=△F=△a+v△b+△v(b+△b)
5. 腰曲线 r M l b(u) a(u) ( ) C o a(u +u) b(u + u) r r + M l 定义 当l 是过导线上点a(u)的直母线, 是过导线上a(u)邻近一点 的直母线,作l和 的公垂线,垂足分别 为M和 M ,公垂线 的垂足M当 l a u u ( ) + l MM 考虑两条无限邻近的直母线的相 互位置，先定义直纹面的腰曲线. 的向径为 M 的向径为 M r a u vb u = + ( ) ( ), r r a u u v v b u u + = + + + + ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )( ( ) ( )), a u a u v v b u b u + + + + 时沿直母线 l 趋向于极限位置M0 →u 0 , 称为直母线 l上的腰点, 由以上两式得 MM r a v b v b b ' ( ). = = + + + 腰点的轨迹称为腰曲线
MM'=△r=△a+v△b+△v(b+△b) (C) 又由于MM是两条直母线的 b(u+△ M 公垂线，所以 F+△正 a(u+Au) MMLb,MM⊥(6+△b)→MM⊥△b b(u) 有 MM.△b=0. 得 MMi.AB=Aa+YAB+Av(6+AB).AB=0, △ā·△b+4b.△b+△b+△b)△b=0 上式除以（△）2得 aA(BB)0 △u△u△u△u△u △u
MM r a v b v b b ' ( ). = = + + + 又由于 是两条直母线的 公垂线,所以 MM ' MM b MM b b MM b ' ' ( ) ' ⊥ ⊥ + ⊥ ， r M l b(u) a(u) ( ) C o a(u +u) b(u + u) r r + M l 有 MM b ' 0. = 得 MM b a v b v b b b ' ( ) =0 = + + + ， + + + a b v b b v b b b ( ) =0. 上式除以 ( ) u 2 得 ( ) =0. a b b b v b v b b u u u u u u + + +
△a△b,△b△b,△y (6+A5) -=0 △u△ (C) △u△u △u △u b(u+△ 当△u-→0时，考虑MM的极限位置 M F+△ 假设b'(w≠0(b'(0=0情形另外讨论) d(u+△uy b(u) △u→0： A→a, △b →6 M △u A56→万.0=0.6. △u 2→万-万=0 △ 有 b +b2=0→v= 62 带入到下=(u)+vb(⑩，得腰点的向径表达式（腰曲线参数方程）： 产=aw au-b'四i 62(u
r M l b(u) a(u) ( ) C o a(u +u) b(u + u) r r + M l ( ) =0. a b b b v b v b b u u u u u u + + + 当 →u 0 时, 考虑 的极限位置 ', ', 0 0, ' 0 a b a b u u b b b b b b b u u → → → = → = MM ' 假设 b u'( ) 0 ( b u'( ) 0 = 情形另外讨论). →u 0: 有 2 a b vb ' ' ' 0 + = 2 ' ' . ' a b v b = − 带入到 ,得腰点的向径表达式(腰曲线参数方程)： 2 '( ) '( ) ( ) ( ). ( ) a u b u r a u b u b u = − r a u vb u = + ( ) ( )