定义5称区间( 为幂级数∑anx"的收敛区间, 称数为幂级数∑ax的收敛半径,记为R.则有 R lim n→0 n+1 注6求幂级数∑的收敛域的步骤是: H=0 ()求出收敛半径R==lm“n, n→∞ 得收敛区间为(-R,R
6 定义5 称区间 1 l 0 n n n a x = 1 1 ( , ) l l − 0 n n n a x = 1 1 lim n n n a R l a → + = = 为幂级数 的收敛区间, 称数 为幂级数 的收敛半径，记为R . 则有 1 1 lim , n n n a R l a → + = = 注6 求幂级数 的收敛域的步骤是: 0 n n n a x = (1)求出收敛半径 得收敛区间为(-R,R)
(2)判断x=R时幂级数∑aR和∑(-R)的敛散性 (3)写出幂级数∑的收敛区域 注7(当R=0时幂级数∑X"只在x=0收敛 nE (2)当R=+时幂级数∑ax"对于一切均收敛, 此时收敛区间为(-on+∞) (3)幂级数∑。收敛半径满足0≤R<+ n=0
7 (2)判断x =±R时,幂级数 和 0 n n n a R = 0 ( )n n n a R = − (3)写出幂级数 的收敛区域. 0 n n n a x = 注7 (1)当R=0时,幂级数 0 n n n a x = (2)当R= +∞时,幂级数 0 n n n a x = (3)幂级数 的收敛半径满足 0 n n n a x = 的敛散性; 只在x = 0收敛. 此时收敛区间为(-∞,+∞). 对于一切x均收敛, 0≤R<+∞
例17求下列幂级数的收敛半径及收敛域 (1)∑C(-1 1y+m3 解(1)因l=lim li n→>∞a n→ (n+1)3 lir 1→R n→、(n+ 下面考察x=±1时幂级数(1)的敛散性 当x=1时,幂级数(1)变为 是绝对收敛的 当x=-1时,幂级数(1)变为 是收敛的; 故原级数收敛域为[-1,1]
8 例17 求下列幂级数的收敛半径及收敛域: 3 1 (1) ( 1) n n n x n = − 1 (1) lim n n n a l a + → 解 因 = = 1 R 1 l = = 下面考察x=±1时幂级数(1)的敛散性: 3 1 ( 1)n n n = − 当x=1时,幂级数(1)变为 3 1 1 n n = 当x=-1时,幂级数(1)变为 故原级数收敛域为[﹣1,1]. 1 3 3 ( 1) lim ( 1) ( 1) n n n n n + → − + − 3 3 lim 1 ( 1) n n n → = = + 是绝对收敛的; 是收敛的;
(2 (3) (n+1) H+1 解(2)因R=im lim =1im(n+1X1+4y=+ n∞a n→0 n→ n n+1 故原级数收敛域为(-∞,+∞) 第(3题请同学们课后做.R=2收敛域[-2,2) 注8我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都 标准幂级数∑ax"=an+a1x+…+anx+…而言的但形 H=0 如∑an(x-xn)",∑anx2",∑anx2非标准幂级数,却不能 直接用上述方法求收敛半径和收敛区间而只能是采用如 下步骤求收敛半径和收敛区城
9 1 (2) lim n n n a R → a + 解 因 = = 故原级数收敛域为(﹣∞,﹢∞). 注8 我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都 是 0 1 0 n n n n n a x a a x a x = = + + + + 2 2 1 0 0 0 0 ( ) , , nnn n n n n n n a x x a x a x + = = = 如 − 1 1 1 (2) (3) ( ) 2 n n n n n x x n n = = 1 lim( 1)(1 )n n n → n + + = + 1 ( 1) lim n n n n n + → + = 对标准幂级数 而言的;但形 非标准幂级数, 下步骤求收敛半径和收敛区域: 直接用上述方法求收敛半径和收敛区间, 却不能 而只能是采用如 第(3)题请同学们课后做. R=2,收敛域[-2,2)
第一步:用变量代換把它们化为标准幂级数∑ax; 如令变量代换t=x-x,或t=x2 第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及 收敛区间 第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点 回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域 或正项级数的判断方法去判断∑u1(x)
10 第一步:用变量代换把它们化为标准幂级数 0 ; n n n a x = 如令变量代换 2 0 t x x t x = − = , . 或 第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及 收敛区间; 第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点 回代到变量代换中去, 求出原级数的收敛区域. 或正项级数的判断方法去判断 0 ( ) n n u x =