最大值或最小值吗? 提示利用函数极限的局部有界性和连续函数有界性定理可证f在[a+∞)上有界,若 3xn∈a,+∞),使得f(x)=BA=mf(x),设法证明丑X,Wx>X,+A面证aⅪ上f的 最大值必为∫在{a,+∞)上的最大值同理可证若彐x∈[a,+∞),f(x)<A时,f必在[a,+∞)上取到 最小值 10.证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根 证设方程为 f(x)=x2m+a1x2"+…+a2n1=0, 其中a2(k=12…2n+1)为实数试利用mf(x)=+∞,mf(x)=∞,证明丑X>0, f(-X)<0,f(X)>0 16.设函数∫满足第6题的条件证明∫在[a,+∞)上一致连续 证因为mf(x)=A,于是由函数极限的柯西准则,VE>0,3x,wx,x">X,f(x)-f(x")<E
最大值或最小值吗？ 提示 利用函数极限的局部有界性和连续函数有界性定理可证 f 在 [a,+) 上有界，若 [ , ) x0 a + ，使得 ( ) 0 f x =B>A= lim f (x) x→+ ，设法证明 2 , , ( ) B A X x X f x + ，再证[a,X]上 f 的 最大值必为 f 在 [a,+) 上的最大值.同理可证若 [ , ) x0 a + ， ( ) 0 f x <A 时， f 必在 [a,+) 上取到 最小值. 10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根. 证 设方程为 ( ) 2 1 0 2 1 2 1 = + + + + = + n n n f x x a x a ， 其中 ak (k =1,2, ,2n +1）为实数.试利用 lim f (x) x→+ =+ ， lim f (x) x→− =- ，证明 X 0, f (−X) 0, f (X) 0 . 16．设函数 f 满足第 6 题的条件.证明 f 在 [a,+) 上一致连续. 证 因为 lim f (x) x→+ =A，于是由函数极限的柯西准则， 0,x,x , x X, f (x ) − f (x )
在aX+1上应用一致连续性定理,有 VE>0,3()>0,x,x"∈[a,X+1]x-x1时,(x)-f(x")<E(22) 取δ=max{61,,现证,wx2,x"∈[ax-x"<6时,有f(x)-f(x")<E 三种情况: (1)当x,x"∈[a灯1且x-x"<δ时,由(2)f(x)-f(x")<E (2)当x'∈axx”∈(X+∞)x-x<6时,则x"∈[a,X+1,由(22)|f(x)-f(x")<E (3)当x,x"∈(X,+∞)x-x6时,同样有(x)-f(x)<E这样,VE>0,36()>0, x,x"∈[a+)x'-x1<d时,总有|(x)-f(x")<E, ∫在[a+∞)上一致连续
在[a,X+1]上应用一致连续性定理，有 1 1 0, () 0,x , x [a, X +1], x − x 时， f (x ) − f (x ) （2.2） 取 = max 1 ,1 ，现证 ,x , x [a,+], x − x 时，有 f (x ) − f (x ) . 分三种情况： （1）当 x , x [a, X],且 x − x 时，由（2.2） f (x ) − f (x ) . （2）当 x [a, X], x (X,+), x − x 时，则 x [a, X +1] ，由（2.2） f (x ) − f (x ) . （3）当 x , x (X,+), x − x 时，同样有 f (x ) − f (x ) .这样， 0, () 0 ， x , x [a,+), x − x 时，总有 f (x ) − f (x ) ， 即 f 在 [a,+) 上一致连续
第五章导数和微分 §1导数的概念 设函数 f(x)0x=0(m为正整数 试问:(1)m等于何值时,f在ⅹ=0连续; (2)m等于何值时,f在x=0可导 (3)m等于何值时,∫在x=0连续。 答(1)当m21时,(x=m9F,有m(x)=0,于是m0(=10)即在在x=0
第五章 导数和微分 §1 导数的概念 设函数 = 0 0 1 sin 0 ( ) x x x xm f x （m 为正整数） 试问：（1）m 等于何值时，f 在 x=0 连续； （2）m 等于何值时，f 在 x=0 可导； （3）m 等于何值时， f 在 x=0 连续。 答（1）当 m≥1 时， m f (x) = x m x x 1 sin ，有 ( ) 0 lim x→01 f x = ，于是 ( ) (0) lim 01 f x f x→ = 即在 f在x = 0
连续 (2)当m≥2时 △r"sin f(0)=m0 △r 由复合函数求导可得 ∫(x)= 即m≥2时可导 (3)同理可证m≥3时,∫在x=0连续 注本题在导函数理论中举某些反例时很有用。 1l.设g(0)=g(0)=0
连续。 （2） 当m 2时， 0 1 sin 0 1 sin (0) lim 1 0 lim 0 = = − = − → → x x x x x f m x m x 由复合函数求导可得 , 1 cos 1 sin 0 1 2 ( ) x x x mx m m f x − − − = 0 0 = x x 即 m≥2 时可导 （3）同理可证 m≥3 时， f 在 x=0 连续 注 本题在导函数理论中举某些反例时很有用。 11. 设 g(0) = g (0) = 0
g(r)sin f(x) 求f(0) 提示f(0)= f(Ax)-f(0) △x 只需证明x4Ax 12设f是定义在R上的函数,且对任何x,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)若 f'(O)=1,证明对任何x∈R,都有 f(x)=f(x) 提示在f(x1+x2)=f(x1)f(x2)中设x1=x2=0,可得f(0)=f2(0)分两种情况讨论,若 f(0)=0,可证f(x)=0若f(0)=1,在f(x1+x2)=f(x)·f(x2)中设
= x g x f x 1 ( )sin 0 ( ) 0 0 = x x 求 f (0) 提示 x sim x f x f f x = − = → ( ) (0) 1 (0) lim 0 ，只需证明 0 ( ) lim 0 = → x g x x 12 设 f 是定义在 R 上的函数，且对任何 x1 , x2 R ，都有 ( ) 1 2 f x + x = ( ) ( ) 1 2 f x f x 若 f (0) =1 ，证明对任何 xR ，都有 f (x) = f (x) 提示 在 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x + x = f x f x 中设 x1 = x2 = 0 ，可得 (0) (0) 2 f = f 分两种情况讨论，若 f (0) = 0 , 可 证 f (x) 0 若 f (0) =1 ， 在 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x + x = f x f x 中 设