x1=x,x2=△x,有f(x+△x)=f(x)f(△x),再设法证明f(x)=f(x) §2求导法则 9以sh-x.ch-x, th x coth-x分别表示各双曲函数的反函数,试求下列函数的导数 (1)y=sh x (2)y=ch"x 3)y=thx (4)y=coth-x (5) y=th-x-coth- (6)y=xh(tan x) 解在求导之前,读者可以验证下列双曲函数的恒等式
, , ( ) ( ) ( ) 1 2 x = x x = x 有f x +x = f x f x ，再设法证明 f (x) = f (x) §2 求导法则 9 以 sh x ch x th x x 1 1 1 1 , , ,coth − − − − 分别表示各双曲函数的反函数，试求下列函数的导数 （1） y sh x −1 = （2） y ch x −1 = （3） y th x −1 = （4） y x 1 coth − = （5） x y th x 1 coth −1 −1 = − （6） (tan ) 1 y xh x − = 解 在求导之前，读者可以验证下列双曲函数的恒等式
chy-sh'y= chy =1-thy(22) - acoth 并注意应用反函数求导公式后,应当用y0=9-(x)代入一中,化为x0的函数 (1)x=shy,求反函数求导公式,有 dy 1 dx dy (shy)' chy 为了把导数化为x的函数,由(2.1)有ch2y=1+sh2y于是
= − − = = − 1 coth 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ch y sh y y sh y th y ch y (2.1) 2.3 2.2 （ ） （ ） 并注意应用反函数求导公式后，应当用 ( ) 0 1 0 y x − = 代入 ( ) 1 0 y 中，化为 0 x 的函数 （1） x = shy ，求反函数求导公式，有 shy chy dx dx dy dy 1 ( ) 1 1 = = ， 为了把导数化为 x 的函数，由（2.1）有 ch y sh y 2 2 =1+ 于是 2 2 1 1 1 1 1 dx chy sh y x dy + = + = =
(2)x=chy a=()的y-1+(少 (3)x=thy有 dy 1 dxdx (thy) 由公式(22),ch2y= 1-th'y 1-x (4)x=coth
（2） x = chy ( 1) 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 2 2 − = − = = = = x chy shy ch y x dy dx dx dy （3） x = thy 有 ch y thy dy dx dx dy 2 ( ) 1 1 = = = 由公式（2.2）， ,( 1) 1 1 1 1 2 2 2 − = − = x th y x ch y （4） x = coth y
dx 1 dx (coth y))' y 由公式(23),sy=-1 ay-1=x-1,是 1) (5)y=th x-coth 1 (6)y=sh (tan x)
sh y sh y y dy dy dx dx 2 2 1 1 (coth ) 1 1 = − − = = = 由公式（2.3）， 1 1 coth 1 1 2 2 2 − = − = y x sh y ，于是 ( 1) 1 1 (coth ) 2 1 − = − x x x （5） x y th x 1 coth −1 −1 = − , ) 0 1 ( 1 1 1 1 1 2 2 2 − = − − − = x x x y (6) (tan ) 1 y sh x − =
§3参数变量函数的导数·高阶导数 §3习题(教材上册第105页) 4证明:曲线 v=a(cost+sinr) (≠0) 上任一点的法线到原点的距离等于a 证x(t)= at cos t,y'(t)= at sin t,由(3.4),曲线的法线方程为 [Y-asnt- t cost)y()+[X-a(cost+tsn)x()=0,代入x()y(),化简可得 sntY+cost·X=a
x x x y sec sec 1 tan 1 2 2 = + = §3 参数变量函数的导数·高阶导数 §3 习题（教材上册第 105 页） 4 证明：曲线 ( 0) (cos sin ) (sin cos ) = + = − t y a t t t y a t t t 上任一点的法线到原点的距离等于 a。 证 x (t) = at cost, y (t) = atsin t ， 由 （ 3.4 ） ， 曲 线 的 法 线 方 程 为 [Y −a(sin t −t cost)]y (t)+[X −a(cost +tsin t)]x (t) = 0,代入x (t), y (t), 化简可得 sin t Y +cost X = a