lim Vf(x)=VA 其中n≥2为正整数 提示讨论A=0和A>0两种情况A>0时应用 f(x) f(x)- f(x)+(x)“A+…+》来证明 9.(1)证明:若imf(x3)存在,则lmf(x)=lmf(x3) (2)若mf(x2)存在,试问是否成立mf(x)=imf(x2)? 解(1)由m/(x)存在,VE>036>0,当0<<6时,(x)-4<E,作变换y=x 当0<同<6时,()-4<E,即0<<δ时,1(y)-4<,于是 lim f(x)=lim f(x)=A
n n x x f x = A →+ lim ( ) 0 ， 其中 n≥2 为正整数. 提示 讨论 A=0 和 A>0 两种情况.A>0 时应用 n n n N n n n n n f x f x A A f x A f x A 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − + + + − − = 来证明. 9．（1）证明：若 lim ( ) 3 0 f x x→ 存在，则 lim ( ) 0 f x x→ = lim ( ) 3 0 f x x→ . （2）若 lim ( ) 2 0 f x x→ 存在，试问是否成立 lim ( ) 0 f x x→ = lim ( ) 2 0 f x x→ ？ 解 （1）由 lim ( ) 3 0 f x x→ 存在， 0, 0 ，当 0 x 时， f (x ) − A 3 ，作变换 3 y = x ， 当 0 3 y 时， f (y) − A ，即 3 0 y 时， f (y) − A ，于是 lim ( ) 0 f x x→ = lim ( ) 3 0 f x x→ =A
(2)否反例:f(x)={,x<0,x为有理数 0,x<0,x为无理数 易见lmf(x2)=lmx2=0,而lmf(x)不存在,因此lmf(x)不存在 §3函数极限存在的条件 7.证明:若f为定义在R上的周期函数,且lmf(x)=0,则f(x)≡0,x∈R 证设T为f的周期因为mf(x)=0,则VE>0,彐M>0,wx>M时,(x)<E x∈R,Bn∈N,使得x=x0+mT>M,由函数∫的周期性,|f(x0)=f(x+nD=|(x)<E,令 E→0,得f(x0)=0,于是f(x)≡0,Vx∈R
（2）否.反例： = 0, 0, . 1, 0, , , 0, ( ) 为无理数 为有理数 x x x x x x f x 易见 lim ( ) 2 0 f x x→ = lim 0 2 0 = → x x ，而 lim ( ) 0 f x x→ − 不存在，因此 lim ( ) 0 f x x→ 不存在. §3 函数极限存在的条件 7．证明：若 f 为定义在 R 上的周期函数，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，则 f (x) 0， x R . 证 设 T 为 f 的周期.因为 lim ( ) = 0 →+ f x x ，则 0,M 0,x M 时， f (x) . R n N+ x , 0 ，使得 x = x0 + nT M .由函数 f 的周期性， ( ) = ( + ) = ( ) 0 0 f x f x nT f x ，令 → 0 ，得 f (x0 ) = 0 ，于是 f (x) 0，xR
8.证明定理3.9 提示充分性用反证法若lm.f(x)≠A,选出以x为极限的递减数列{x}cU°,(x。),但 f(xn)-4≥6,6为某正数 §4两个重要的极限 3.证明:mn{ lim cos x cosco12), 提示先利用2c0 DSx COs--cOs-…cosx,simx=sn2x作化简,然后应用lmx=1来 证明 §5无穷小量与无穷大量
8．证明定理 3.9. 提示 充分性用反证法.若 f x A x x + →+ lim ( ) 0 ，选出以 0 x 为极限的递减数列 ( ) 0 x U x n + ，但 0 f (x ) − A n ， 0 为某正数. §4 两个重要的极限 3．证明： 1 2 cos 2 cos 2 lim lim cos cos 2 0 = → → n x n x x x x . 提示 先利用 x x x x x x n n n sin 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 cos cos 2 1 = + 作化简，然后应用 1 sin lim 0 = → x x x 来 证明. §5 无穷小量与无穷大量
7.证明:若S是无上界数集,则存在一递增数列{xn}<S,使得xn→+(n→> 证因为S无上界,于是vM>0,丑x'∈S,使得x'>M 取M1=1,3x1∈S,使x1>M1, 2,丑x2∈S,使 取Mn=xn1+n,Bxn∈S,使xn>Mn, 可见{xn}为递增数列xn→+ 第四章函数的连续性
7．证明：若 S 是无上界数集，则存在一递增数列 xn S ，使得 xn → + （ n→ ）. 证 因为 S 无上界，于是 M 0，x S,使得x M . 取 1 1 1 1 M =1,x S,使x M ， 取 2 1 2 2 2 M = x + 2,x S,使x M ， ………… 取 n n n n M n M = x −1 + n,x S,使x ， ………… 可见 xn 为递增数列 xn → + . 第四章 函数的连续性
§1连续性概念 7.设函数∫只有可去间断点,定义g(x)=mf(y),证明g为连续函数 证因为g(x0)=mf(y),于是 vE>036>0,当0<y-x<d时,|f(y)-g(x)<E.x,x-x<时,g(x)-g(x≥ E,这样g(x)在x=x0处连续,由x0的任意性,g(x)为连续函数 §2连续函数的性质 6.设∫在[a,+∞)上连续,且imf(x)存在证明:f在[a,+∞)上有界又问∫在[a,+∞)上必有
§1 连续性概念 7．设函数 f 只有可去间断点，定义 g(x) lim f (y) y→x = ，证明 g 为连续函数. 证 因为 ( ) lim ( ) 0 0 g x f y y→x = ，于是 0, 0 ，当 0 y − x0 时， ( ) − ( ) 0 f y g x .x ， x − x0 时， ( ) ( ) 0 g x − g x ≥ ，这样 g(x) 在 0 x = x 处连续，由 0 x 的任意性， g(x) 为连续函数. §2 连续函数的性质 6．设 f 在 [a,+) 上连续，且 lim f (x) x→+ 存在.证明： f 在 [a,+) 上有界.又问 f 在 [a,+) 上必有