2线性空间的性质 (1)零元素是唯一的 (2)任一元素的负元素是唯一的,a的负元素记 作-a; (3)0a=0;(-1)a=-a;10=0; (4)如果a=0,则=0或a=0 上页
(4) 0, 0 0. (3)0 0;( 1) ; 0 0; ; (2) , (1) ; = = = = − = − = − 如 果 则 或 作 任一元素的负元素是唯一 的 的负元素记 零元素是唯一的 ２ 线性空间的性质
庄3子空间 定义设V是一个线性空间,L是V的一个非空子 集,如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间,则称L为V的子空间 王定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 王必要条件是:L对于中的线性运算封闭 上页
３ 子空间 定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间． V L V V L V L 定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： L 对于 V 中的线性运算封闭． V L
士 生4线性空间的维数、基与坐标 定义在线性空间中如果存在n个元素 c1c2, ,an, 满足 (1)a1,a2,…,an线性无关 (2)中任一元素a总可由a1,a2,…,an线 性表示那么,a1,a2,…,an就称为线性空间的一 个基n称为线性空间的维数 王维数为n的线性空间称为维线性空间记作p 上页
, . , , , , , (2) , , , (1) , , , ; , , : , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 个 基 称为线性空间 的维数 性表示 那 么 就称为线性空间 的 一 中任一元素 总可由 线 线性无关 满 足 在线性空间 中 如果存在 个元素 n V V V V n n n n n 定义 n n , V . 维数为 的线性空间称为 维线性空间记 作 n ４ 线性空间的维数、基与坐标
定义设a1,a2,…,cn是线性空间的一个基对于 王任—元素a∈Fn总有且仅有一组有序数,x2” En, 使 o=x1a1+x2a2+…+xnOn 王个基这组有称为元素在aa n a=(x1,x2,…,xn) 上页
定义 ( , , , ) . , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 T n n n n n n n n n x x x x x x x x x x V x x V = = + + + 这个基下的坐标并记作 这组有序数就称为元素 在 使 任一元素 总有且仅有一组有序数 设 是线性空间 的一个基 对 于
一般地,设V与U是两个线性空间,如果在 上它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关 系保持线性组合的对应,那么就说线性空间V与 U同构 线性空间的结构完全被它的维数所决定 任何n维线性空间都与R同构,即维数相等 牛的线性空间都同构 上页
一般地，设 与 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与 同构． V U V U 线性空间的结构完全被它的维数所决定． 任何 维线性空间都与 同构，即维数相等 的线性空间都同构． R n n