第三章静电场的边值问题 主要内容 电位微分方程,镜像法,分离变量法。 1.电位微分方程 已知,电位q与电场强度E的关系为 E=-V 对上式两边取散度,得 E=-V 对于线性各向同性的均匀介质,电场强度E的散度为 V·E
第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。 1. 电位微分方程 已知，电位 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 E = − 2 E = − E =
那么,线性各向同性的均匀介质中,电位满足的微分方程式为 20=5 该方程称为泊松方程。 对于无源区,上式变为 上式称为拉普拉斯方程。 泊松方程的求解。 已知分布在V中的电荷无限大的自由空间产生的电位 为 ( D(r= 4πEJr"|r-r' 因此,上式就是电位微分方程在自由空间的解
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 = − 2 该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为 0 2 = 上式称为拉普拉斯方程。 泊松方程的求解。 V V − = d | | ( ) 4π 1 ( ) r r r r 已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位 为 (r) 因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解
应用格林函数G(,r),即可求出泊松方程的通解为 r)=G0(r,r) [Go(r, r)Vp(r)-o(r)VGo(r, r)] ds 式中格林函数G(r,r)为 Go(r, r) 4π|r-r 对于无限大的自由空间,表面S趋向无限远处,由于格林函数 G(r,r)及电位均与距离成反比,而dS与距离平方成正比,所以, 对无限远处的S表面,上式中的面积分为零 若V为无源区,那么上式中的体积分为零。因此,第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解,或者认为是拉普拉斯方程 以格林函数表示的积分解
应用格林函数 G(r, r) ，即可求出泊松方程的通解为 r r r r r r S r r r r [ ( , ) ( ) ( ) ( , )] d d ( ) ( ) ( , ) 0 0 0 + − = G G G V S V 式中格林函数 G(r, r) 为 4π | | 1 ( , ) 0 r r r r − G = 对于无限大的自由空间，表面S 趋向无限远处，由于格林函数 及电位 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以， 对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。 ( , ) 0 G r r 若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程 以格林函数表示的积分解
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对某 特定的区域和时刻,方程的解取决于物理量的初始值与边界值,这 些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件,两者又统称为该 方程的定解条件。静电场的场量与时间无关,因此电位所满足的泊 松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条 件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题 通常给定的边界条件有三种类型 第一类边界条件给定的是边界上的物理量,这种边值问题又称为 狄利克雷问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值,这种边值问 题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上 物理量的法向导数值,这种边界条件又称为混合边界条件
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一 特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这 些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该 方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊 松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条 件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。 通常给定的边界条件有三种类型： 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问 题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上 物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为 狄利克雷问题
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下,方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时,所求得的解是否会发 生很大的变化。 解的惟—性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 静电场是客观存在的,因此电位微分方程解的存在确信无疑。 由于实际中定解条件是由实验得到的,不可能取得精确的真值, 因此,解的稳定性具有重要的实际意义。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可 以证明电位微分方程解也是惟一的
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可 以证明电位微分方程解也是惟一的。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发 生很大的变化。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑