第一章矢量分析 主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1.标量场的方向导数与梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 例如标量场Φ在P点沿l方向上的方向导 数定义为 (P)-Φ(P)
第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 l P P l l P Δ ( ) ( ) lim Δ 0 − = → 例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导 数 定义为 P l P l Δl P
梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数,梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见,梯度是一个矢量。 在直角坐标系中,标量场Φ的梯度可表示为 0④ 0④ 0④ grad =e e 十e az 式中gad是英文字母 gradient的缩写。 若引入算符V,它在直角坐标系中可表示为 ayaz 则梯度可表示为 grad④=V④
梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。 x y z y z + + = e e e grad x x y z x y z + + = e e e grad = 在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为 式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。 若引入算符，它在直角坐标系中可表示为 则梯度可表示为
2.矢量场的通量与散度 通量:矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲 面S的通量,以标量y表示,即 P=AdS 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时,认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时,认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因比,当闭合面中有源时,矢量通过该闭合 面的通量一定为正;反之,当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以,前述的源称为正源,而洞称为负源
通量： 矢量 A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲 面 S 的通量，以标量 表示，即 2. 矢量场的通量与散度 = S A dS 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合 面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源
由物理得知,真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等 于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数E0之比,即, IE dssg 可见,当闭合面中存在正电荷时,通量为正。当闭合面中存在负电 荷时,通量为负。在电荷不存在的无源区中,穿过任一闭合面的通 量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的 通量特性。但是,通量仅能表示闭合面中源的总量,它不能显示源 的分布特性。为此需要研究矢量场的散度
由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等 于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比，即， 可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的 通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源 的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。 = S q 0 d E S
散度:当闭合面S向某点无限收缩时,矢量A4通过该闭合面S的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该 点的散度,以dvA表示,即 A- dS diva= lim △→0△ 式中div是英文字母 divergence的缩写,△V为闭合面S包围的体 积。上式表明,散度是一个标量,它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。 直角坐标系中散度可表示为 aA dA aA diva ax ay az
散度：当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A在该 点的散度，以 div A 表示，即 V S V Δ d div lim Δ 0 = → A S A 式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体 积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。 直角坐标系中散度可表示为 z A y A x Ax y z + + divA =