*证只要对正项级数证明了定理的结论，对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的第一步设级数(5)是正项级数,用S,表示它的第n个部分和.用Om =Vi +V2 +.. +Vm表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)的重排,所以每一v(1≤k≤m)应等于某一 u(1 ≤k≤m). 记n = max(i.,i.,...i.,返回前页后页
前页 后页 返回 第一步 设级数(5)是正项级数, 用Sn表示它的第 n 个 部分和. 用 m m = + + + 1 2 v v v 表示级数(7)的第m个部分和. 因为级数(7)为级数(5) v k m k (1 ) k 的重排, 所以每一 应等于某一 ui (1 ). k m 记 n i i i = max{ , , }, 1 2 m *证 只要对正项级数证明了定理的结论, 对绝对收 敛级数就容易证明定理是成立的
则对于任何 m,都存在 n, 使m≤ S,.由于lim S,= S,所以对任何正整数m 都有 ≤S,即级数(7)收敛，且其和α≤S.由于级数(5)也可看作级数(7)的重排，所以也有S≤α。从而得到=S.这就证明了对正项级数定理成立第二步证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数且绝对收敛，则由级数(6)收敛第一步结论，可得乙vn收敛，即级数(7)是绝对收敛的后页返回前页
前页 后页 返回 即级数(7)收敛, 且其和 S. 由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有 S , 从而得到 = S. 这就证明了对正项级数定 理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得 n v 收敛, 即级数(7)是绝对收敛的. 则对于任何 m n S , , . 都存在 使 m n lim , , n m n 由于 所以对任何正整数 都有 S S m S → =
第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,所以先要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.为此令[u,|+un,[u,| -un(8)Pn =，qn22当u, ≥ 0时, Pn = u, ≥ 0,qn = 0;当 un <0 时, Pn = 0, qn =|un = -u, ≥ 0. 从而(9)0 ≤ pn ≤un|,0 ≤qn ≤ unl,(10)Pn + qn =unl, Pn - In = un.后页返回前页
前页 后页 返回 , . (8) 2 2 n n n n n n u u u u p q + − = = = = 0 , 0, 0; 当 时 u p u q n n n n 0 , 0, 0. 当 时 从而 u p q u u n n n n n = = = − 0 ,0 , (9) n n n n p u q u , . (10) n n n n n n p q u p q u + = − = 要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令 第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S. 根据第 一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先
由级数(5)绝对收敛,及(9)式,知 Zpn，Zn都是收敛的正项级数.因此S-Zun -Epn -in.对于级数(5)重排后所得到的级数(7),也可按(8)式的办法，把它表示为两个收敛的正项级数之差Eyn =Zph-Zqn,显然ph，q分别是正项级数pn，q,的重排其和不变，从而有Zv, = Zph, -Eq, =Epn-Eqn = s.前页后页返回
前页 后页 返回 = = − . S u p q n n n 对于级数(5)重排后所得到的级数(7), 也可按(8)式的 = − , n n n v p q , , n n n n 显然 分别是正项级数 的重排, p q p q 办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差 其和不变, 从而有 = − = − = . n n n n n v p q p q S , n n 由级数(5)绝对收敛, 及(9)式, 知 p q 都是收 敛的正项级数. 因此