的中点,F是DC上的点且DF=AB,P为△PD中AD边上的高. (1)证明:PH⊥平面ABCD (2)若P=1,AD=V2,PC=1,求三棱锥EBCF的体积 (3)证明:EF⊥平面PAB [自主解答](1)证明:由于AB⊥平面PAD,P平面PAD,故AB⊥PH 又∵PH为△PAD中AD边上的高,∴AD⊥P AB∩AD=A,ABC平面ABCD,AD平面ABCD, ∴PH⊥平面ABCD (2)由于PH⊥平面ABCD,E为PB的中点,PH=1,故E到平面ABCD的距离h 又∵AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD, 故Sm=2,RC·AD=2×1×1= L√21y2 因此Vax=2S△·h=×。 (3)证明:过E作EG∥AB交 PA于G,连接DG 由于E为PB的中点,所以G 为PA的中点 ∵AD=PD ∵AB⊥平西PAD,DG二平西PAD, ∴AB⊥DG 又∵AB∩PA=A,AB二平西PAB,PA三平面PAB, DG⊥平西PAB. 又∵GE方AB,DF亏AB, ∴四边形DFEG为平行四边形,故DG∥EF ∴EF⊥平西PAB 垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问題.一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间 的转化
的中点，F 是 DC 上的点且 DF＝ 1 2 AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高． (1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E-BCF 的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB. [自主解答] (1)证明：由于 AB⊥平面 PAD，PH⊂平面 PAD，故 AB⊥PH. 又∵PH 为△PAD 中 AD 边上的高，∴AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， ∴PH⊥平面 ABCD. (2)由于 PH⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点，PH＝1，故 E 到平面 ABCD 的距离 h ＝ 1 2 PH＝ 1 2 . 又∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD， 故 S△BCF＝ 1 2 ·FC·AD＝ 1 2 ×1× 2＝ 2 2 . 因此 VE-BCF＝ 1 3 S△BCF·h＝ 1 3 × 2 2 × 1 2 ＝ 2 12 . 垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题．一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间 的转化．
(2)垂直与平行结合问题.求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应 用 (3)垂直与体积结合问题.在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段, 进而求得体积 变式训练 如图所示,在直三棱柱ABC-ABC中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱 柱),AB=BB,AC⊥平面ABD,D为AC的中点.求证 (1)BC∥平面ABD; (2)BC⊥平面ABBA 证明: (1)如图所示,连接AB,交AB于点0, 则O为AB的中点.连接OD, ∵D为AC的中点 ,在△ACB中,有OD∥BC 又∵OC平面A1BD,BC平面ABD ∴BC∥平面ABD (2)∵AB=BB,三棱柱 ABC-ABICI为直三棱柱, ∴四边形ABBA为正方形 ∴A1B⊥AB
(2)垂直与平行结合问题．求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应 用． (3)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段， 进而求得体积． 如图所示，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱 柱)，AB＝BB1，AC1⊥平面 A1BD，D 为 AC 的中点．求证： (1)B1C∥平面 A1BD； (2)B1C1⊥平面 ABB1A1. 证明： (1)如图所示，连接 AB1，交 A1B 于点 O， 则 O 为 AB1的中点．连接 OD， ∵D 为 AC 的中点， ∴在△ACB1中，有 OD∥B1C. 又∵OD⊂平面 A1BD，B1C⊄平面 A1BD. ∴B1C∥平面 A1BD. (2)∵AB＝B1B，三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱， ∴四边形 ABB1A1为正方形． ∴A1B⊥AB1