D 图2 (1)求证:DE∥平面ACB; (2)求证:AF⊥ (3)线段AB上是否存在点Q,使AC⊥平面DEQ?说明理由 解:(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DE∥BC 又因为D平面ACB,BC平面ACB, 所以DE∥平面ACB (2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC 所以DE⊥AD,DE⊥CD 又AD∩CD=D,ADC平面ADC,CD平面ADC, 所以DE⊥平面ADC 因为AFC平面ADC, 所以DE⊥AF 又因为AF⊥CD,CD∩DE=D,CD平面BCDE,DEC平面BCDE, 所以AF⊥平面BCDE, 又BEC平面BCDE, 所以AF⊥BE (3)线段AB上存在点Q,使AC⊥平面DEQ 理由如下: D_QNE 如图所示,分别取AC,AB的中点P,Q,则PQ∥BC
(1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由． 解：(1)证明：因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点， 所以 DE∥BC. 又因为 DE⊄平面 A1CB，BC⊂平面 A1CB， 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明：由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC， 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D，DE⊥CD. 又 A1D∩CD＝D，A1D⊂平面 A1DC，CD⊂平面 A1DC， 所以 DE⊥平面 A1DC. 因为 A1F⊂平面 A1DC， 所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD⊂平面 BCDE，DE⊂平面 BCDE， 所以 A1F⊥平面 BCDE， 又 BE⊂平面 BCDE， 所以 A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下： 如图所示，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQ∥BC
又因为DE∥BC,所以DE∥PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由(2)知,DE⊥平面ADC, 所以DE⊥AC. 又因为P是等腰三角形DAC底边AC的中点, 所以AC⊥D 又DP∩DE=D,DP平面DEP,DEC平面DEP, 所以AC⊥平面DEP从而AC⊥平面DEQ 故线段AB上存在点Q,使得AC⊥平面DEQ 考点二 面面垂直的判定与性质 [例2](A.绍兴模拟) 如图,四棱锥 PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M, N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点 求证:(1)CE∥平面PAD (2)平面EFG⊥平面EM [自主解答](1)法一: 取PA的中点H,连接E,DH 因为E为PB的中点, 所以BH∥AB,BH==AB 又AB∥CD,CD=
又因为 DE∥BC，所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知，DE⊥平面 A1DC， 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， 所以 A1C⊥DP. 又 DP∩DE＝D，DP⊂平面 DEP，DE⊂平面 DEP， 所以 A1C⊥平面 DEP.从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C⊥平面 DEQ. [例 2] (A.绍兴模拟) 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M， N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点． 求证：(1)CE∥平面 PAD； (2)平面 EFG⊥平面 EMN. [自主解答] (1)法一： 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH∥AB，EH＝ 1 2 AB. 又 AB∥CD，CD＝ 1 2 AB
所以BH∥CD,EH=CD, 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CE∥DH 又DE平面PAD,CF平面PAD, 所以CE∥平面PAD 法二:连接CF 因为F为AB的中点 所以AF==AB 又CD==AB, 所以AF=CD 又AF∥CD, 所以四边形AFCD为平行四边形 因此CF∥AD 又C平面PAD,AD平面PAD, 所以CF∥平面PAD 因为E,F分别为PB,AB的中点 所以EF∥PA 又EF平面PAD,PC平面PAD, 所以EF∥平面PAD 因为CF∩EF=F, 故平面CEF∥平面PAD 又CEC平面CEF, 所以CE∥平面PAD (2)因为E,F分别为PB,AB的中点
所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形． 所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD， 所以 CE∥平面 PAD. 法二：连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF＝ 1 2 AB. 又 CD＝ 1 2 AB， 所以 AF＝CD. 又 AF∥CD， 所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD. 又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点， 所以 EF∥PA. 又 EF⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD， 所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF＝F， 故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE⊂平面 CEF， 所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点
所以EF∥PA 又AB⊥P, 所以AB⊥EF 同理可证AB⊥FG 又EF∩FG=F,EFC平面EFG,FC平面EFG, 因此AB⊥平面EFG 又M,N分别为PD,PC的中点 所以MW∥CD 又AB∥CD, 所以MW∥AB 所以M⊥平面EFG 又MC平面EMM, 所以平面EFG⊥平面E 互动探究 在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面PAC. 证明:圆为AB⊥PA,AB⊥AC,且PA∩AC=A 所以AB⊥平西PAC. 又MN∥CD,CD∥AB, 所以MN⊥平面PAC 又MN二平面EMN, 所以平西EMN⊥平西PAC. 方法·規律 面面垂直的性质应用技巧 (1)两平西垂立,在一个平西内垂直于交线的直线必垂文 于另一个平西,这是把面西垂直转化为线西垂直的依据,运用 时要注意“平西内的直线 (2)两个相交平西同时直于第三个平西,那么它们的交 线也直于第三个平西,此蚀质是在课本习题中出现的,在不 是很复杂的题目中,要对此进行证明 变式训练 如图所示,三棱柱 ABCABC中,侧棱AA⊥底面ABC,且各棱长均相等,D
所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA， 所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG＝F，EF⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG， 因此 AB⊥平面 EFG. 又 M，N 分别为 PD，PC 的中点， 所以 MN∥CD. 又 AB∥CD， 所以 MN∥AB， 所以 MN⊥平面 EFG. 又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1中， 侧棱 A1A⊥底面 ABC，且各棱长均相等，D
E,F分别为棱AB,BC,AC的中点 求证:(1)EF∥平面ACD; (2)平面ACD⊥平面AABB 证明:(1)如图所示,在三棱柱 ABC-ABC中 AC∥A1C,且AC=AC,连接ED, 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点, 所以DE==AC,且DE∥AC 又F为AG的中点,所以AF=AC=4C,且AF∥AC∥AC,所以AF=DE, 且AF∥DE, 即四边形ADEF为平行四边形, 所以EF∥DA 又EF平面ACD,DAC平面ACD,所以EF∥平面ACD (2)由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点 故CD⊥AB,又侧棱AA⊥底面ABC,C平面ABC, 所以AA1⊥CD, 又AA1∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB 而CD平面ACD,所以平面ACD⊥平面AABB 考点三 垂直关系的综合应用 [例3] 如图所示,在四棱锥 PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB
E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1的中点． 求证：(1)EF∥平面 A1CD； (2)平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. 证明：(1)如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，连接 ED， 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE＝ 1 2 AC，且 DE∥AC. 又 F 为 A1C1的中点，所以 A1F＝ 1 2 A1C＝ 1 2 AC，且 A1F∥A1C1∥AC，所以 A1F＝DE， 且 A1F∥DE， 即四边形 A1DEF 为平行四边形， 所以 EF∥DA1. 又 EF⊄平面 A1CD，DA1⊂平面 A1CD，所以 EF∥平面 A1CD. (2)由于底面 ABC 是正三角形，D 为 AB 的中点， 故 CD⊥AB，又侧棱 A1A⊥底面 ABC，CD⊂平面 ABC， 所以 AA1⊥CD， 又 AA1∩AB＝A，因此 CD⊥平面 A1ABB1， 而 CD⊂平面 A1CD，所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. [例 3] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB