例3求函数y=的导数 解:(1)求增量: △y=f(x+△x)-f(x) =(x+△x)2-x2=2x△x+(△x) (2)算比值: Ny=2x+△v (3)取极限 J=i今 =lm(2x+△x)=2x Ax→>0△Ax→>0 同理可得:(x")=nxn(n为正整数) 特别地(x)=1.(m=1 页后页结束
前页 后页 结束 例3 求函数 的导数 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得: 特别地, . 2 y = x = + − y f x x f x ( ) ( ) 2 2 2 = + − = + ( ) 2 ( ) x x x x x x x x x y = + 2 x x x x y y x x lim lim (2 ) 2 0 0 = + = = → → (x n ) = nx n−1 (n为正整数） ( ) ( ) x n = = 1 1
例4求曲线y=在点处的线与法线方程 解因为(x3)导数几何意义曲线 y=x 在点(2的切线与法线的斜率分别为: k1=yx2=(3x2)=2=12,k2k112 于是所求的切线方程为:y-8=12(x-2) 12x-y-16=0 法线方程为:y-8=-(x-2) 12 即x+12y-98=0 页后页结束
前页 后页 结束 例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为: 即 法线方程为: 3 y = x (2,8) 3 2 (x ) = 3x 3 y = x (2,8) 12 1 1 (3 ) 12, 1 2 2 2 1 2 = = = = − = − = = k k y x k x x y −8 =12(x − 2) 12x − y −16 = 0 ( 2) 12 1 y − 8 = − x − 即 x +12y − 98 = 0
214可导性与连续性的关系 定理2若函数y=f(x)在点x处可导则x)在点x处连续 证因为/(x)在点x处可导,故有r(x)= lim ay △v 根据函数极限与无穷小的关系,可得 △ f(x)+a,其中ima=0 △v △→0 两端乘以Ax得:=f(x)△x+a△x 由此可见:im4=im(f(x0)Ax+a,Ax)=0 即函数y=f(x)在点xo处连续证毕 前页后页结束
前页 后页 结束 2.1.4 可导性与连续性的关系 定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续. 证 因为f (x)在点x0处可导，故有 0 0 ( ) lim . x y f x → x = 根据函数极限与无穷小的关系,可得: 0 0 ( ) lim 0. x y f x x → = + = ，其中 两端乘以 得: 0 x = + y f x x x ( ) 由此可见: 0 0 0 lim lim( ( ) ) 0. x x y f x x x → → = + = 即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕
例5证明函数y=x在x0处连续但不可导 证因为lm|x=0 x→0 F以y=x在x=0连 续 △ 而f4(0)=im lil △x→0+△x△x→0+△x r'(0)=lim ay △v △x→>0 △vAx→0-△v 即函数y=x在x=0处左右导数不相等从而在x=0不可导 由此可见,函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件,但不是充分条件 即可导定连续连续不一定可导 页后页结束
前页 后页 结束 例5 证明函数 在x=0处连续但不可导. y x =| | 证 因为 0 lim | | 0 x x → = 所以 在x =0连 续 y x =| |0 0 (0) lim lim 1 x x y x f x x + + + → → === (0) lim lim 1 0 0 = − − = = − → − → − x x x y f x x 而 即函数 y x =| | 在x=0处左右导数不相等,从而在 x=0不可导. 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件，但不是充分条件 即可导定连续,连续不一定可导
2.2导数的运算 2.21函数的和、差、积、商的求导法则 定理一设函数u(x)与vx)在点x处均可导,则: (1)u(x士v(x)=L(x)±v(x); (2川|u(x)v(x)=u(x)w(x)+l(x)(x), 特别地v(x)=C(C为常数,则Cn)=Cn (3 u(r) u'(v(x)u(x)v'() v(xd 显示该图片 v(x)2 特别地如果u(x)=1, 可得公式 v(x) (v(x)≠0) (x)」v(x) 前页后页结束
前页 后页 结束 定理一 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则: (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); ' ' ' u x v x = u x v x (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ), ' ' ' u x v x = u x v x + u x v x 特别地,v(x) = C(C为常数）,则(Cu) = Cu 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) v x u x v x u x v x v x u x − = u x( ) 1, = 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 导数的运算 特别地,如果 可得公式 2 1 ( ) ( ( ) 0) ( ) [ ( )] v x v x v x v x − =