导数定义与下面的形式等价: f(xo)=lim f(x)-f(x0) x-y 0 着y(x)在x=x的导数存在,则称fx)在点x0 处可导,反之称y=f(x)在x=x不可导,此时意 味着不存在函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态,导数的大小反映 了函数在一点处变化增大或减小)的快慢 前页后页结束
前页 后页 结束 导数定义与下面的形式等价： . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → 若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢
三、左导数与右导数 左导数:f"(x0)=lim f(x0+△x)-f(x0) △x->0 △ 右导数:f(x)=lm f(x0+△x)-f( 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 ∫"(x0)=lim f(r-f(ro) f(o)=lim f(x)-f(x0) 0 x→x 定理31y=f(x)在x=x可导的充分必要条件是 y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等 前页后页结束
前页 后页 结束 三、左导数与右导数 左导数: . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → − − 右导数: . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → + + 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = − → − . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = + → + 定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等
三、导数的几何意义 当自变量x0从变化到x+△x时,曲线y=x) 上的点由M(x0,f(x0)变到M(xo+Ax,f(xo+△x) 此时A为割线两端点M,M 的横坐标之差,而△y 则为M0,M的纵坐标之差, 所以即为过M,M两点的 割线的斜率 xn+△v 页后页结束
前页 后页 结束 三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x) 上的点由 变到 ( , ( )). 0 0 M x + x f x + x 此时 为割线两端点M0，M 的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 即为过M0，M两点的 割线的斜率. x0 ( , ( )). 0 0 x0 M x f x y x y x0 + x M0 M 0 x x0 + x
曲线y=f(x)在点M处的切线即为割线MM当M沿曲 线y=x无限接近M时的极限位置MP,因而当Dx→>0 时,割线斜率的极限值就是切线的斜率即 △ f(ro)=lim=lintan o tan b=k △x0△x→÷6 所以,导数f(x0)的几何意义 是曲线y=f(x)在点M0(x0(xo) 处的切线斜率 xn+△v 页后页结束
前页 后页 结束 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲 线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即： D x→0 0 0 ( ) lim limtan tan x y f x k x → → = = = = 所以，导数 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0 (x0 ,f(x0 )) 处的切线斜率. ( ) x0 f M0 M 0 x x0 + x P M0
设函数fx)在点处可导,则曲线y=x)在点 处的切线方程为:y-f(x)=f(x)(x-x而当 时曲线)=∞在的切线方程的 x= 当f(x)≠0时曲线f(x)在M的法线方程为 y-f(x0)= (x-x0) 而当f(x)=0时,曲线f(x)在M的法线方程为 x=x0(即法线平行轴 页后页结束
前页 后页 结束 设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为 0 0 0 1 ( ) ( ). ( ) y f x x x f x − = − − 0 x x = (即法线平行y轴). 0 x x = 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) ( )( ). 当 f x ( ) 0 0 时,曲线 f x( ) 在 M0 的法线方程为 而当 f x ( ) 0 0 = 时,曲线 f x( ) 在 M0 的法线方程为 0 f x ( ) = f x( ) M0