(数学模型 问题分析分析赛艇速度与桨手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定: °前进动力~桨手的划桨功率 °前进阻力~浸没部分与水的摩擦力 划桨 前进 赛艇 浆手↑ 功率 动力 速度 数量 艇重 浸没 前进 面积阻力/ 赛艇 速度 ·对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型
问题分析 • 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 • 前进动力 ~ 桨手的划桨功率 分析赛艇速度与桨手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定: 划桨 功率 赛艇 速度 赛艇 速度 前进 动力 前进 阻力 浆手 数量 艇 重 浸没 面积 • 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. • 运用合适的物理定律建立模型
(数学模型 模型假设 符号:艇速v,浸没面积s,浸没体积A,空艇重w0, 阻力f桨手数n,桨手功率p,桨手体重w,艇重W 1)艇形状相同(b为常数),w与n成正比艇的静态特性 2)"是常数,阻力卢s2成正比 艇的动态特性 3)v相同,p不变,p与w成正比 桨手的特征 模型四∝j,f∝sv,卩xw口"∝(m) 1/3 建应立s2∝A13,A∞W(=wo+mw)xn→sxn23 〉〉p∝n 1/9∑ 比赛成绩tn-19
模型假设 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0 , 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨手体重 w, 艇重 W. 艇的静态特性 艇的动态特性 3）w相同，p不变，p与w成正比 桨手的特征 模型 建立 f sv2 , p w v (n/s) 1/3 s 1/2 A1/3 , A W(=w0+nw) n s n 2/3 v n 1/9 比赛成绩 t n – 1/9 np fv
(数学模型 模型检验 利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型t∞n-19进行检验 7.21 721 6.88 2688 6.32 46.32 5.84 85.84 4 8 t= an 口logt=a'+ blog 线性最小二乘法t=7.21m0.11与模型吻合!
模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 b t = an 0.11 7.21 − t = n logt = a + blogn 线性最小二乘法 利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验. t 1 n 2 4 8 7.21 6.88 6.32 5.84 • • • • 与模型吻合！
数学模型 划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析,发现并提出问题 利用物理基本知识分析问题 模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的比例 方法建模(只考虑各种艇的相对速度 模型结果与实际数据十分吻合(巧合!)
划艇比赛的成绩 • 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. • 利用物理基本知识分析问题. • 模型假设比较粗糙. • 利用合适的物理定律及简单的比例 方法建模(只考虑各种艇的相对速度). • 模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！)
(数学模型 24实物交换 问甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要, 题商定相互交换一部分。研究实物交换方案 用x分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x乙占有的 数量为y,作图: 若不考虑双方对X的偏爱,则矩形内任一点p(xy)0 都是一种交换方案:甲占有(x,y),乙占有(x0x,yoy)
问 题 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案. y x p . 用x,y分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0 , 乙占有Y的 数量为y0 , 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y). x y yo 0 xo • • 2.4 实物交换