量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得. 1.若∫，f(x,y)ds(i=1,2,,k)在c,(i=1,2,,k)为 常数，则fx,也存在，且 2cx地-2cb 2.若曲线段L由曲线L1,L2,…,Lk首尾相接而成， ∫f(x,y)ds(i=1,2,,)都存在，则∫f(x,y 也存在，且 前
前页 后页 返回 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. ( , )d ( 1,2, , ) i L f x y s i k ( 1, 2, , ) i 1. 若 在 c i k 为 常数, 则 1 ( , )d k i i L i c f x y s 也存在, 且 1 1 ( , )d ( , )d . k k i i i i L L i i c f x y s c f x y s L 1 2 , , , 2. L L Lk 若曲线段 由曲线 首尾相接而成, ( , )d ( 1,2, , ) Li f x y s i k ( , )d L f x y s 都存在 , 则 也存在, 且
[ry)ds-f.yds. 3.若∫fx,)ds与∫g(x,y)ds都存在，且在L上 f(x,y)≤g(比y),则 Jfx,y)d≤∫2g(x,y)ds. 4.若∫f(x,y)ds存在，则∫fx,ds也存在， 且 fx,)dsJlf(,川ds. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 ( , )d ( , )d . i k L L i f x y s f x y s 3． ( , )d ( , )d L L 若 f x y s g x y s 与 都存在, 且在 L 上 f x y g x y ( , ) ( , ), 则 ( , )d ( , )d . L L f x y s g x y s 4． ( , )d ( , ) d L L 若 f x y s f x y s 存在,则 | | 也存在, | ( , )d | | ( , ) | d . L L f x y s f x y s 且
5.若∫，f(x,y)ds存在，L的弧长为s,则存在常数 c,使得 ∫fx,y=c, 这里inff(x,y)≤c≤supf(x,y) 6.第一型曲线积分的几何意义 若L为坐标平面Oy上的分段光滑曲线，f(x,y)为L 上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义，易见 以L为准线，母线平行于z轴的柱面上截取 前页 返回
前页 后页 返回 ( , )d L 若 f x y s 5． 存在, L 的弧长为 s, 则存在常数 ( , )d , L f x y s cs c, 使得 inf ( , ) sup ( , ). L L 这里 f x y c f x y 6. 第一型曲线积分的几何意义 若 L 为坐标平面 Oxy 上的分段光滑曲线, f x y ( , ) 为L 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L 为准线 z , 母线平行于 轴的柱面上截取
0≤z≤f(x,y)的部分的面积就是，f(x,y)s. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 ( , ) z f x y ( , )d . L f x y s 的部分的面积就是
二、第一型曲线积分的计算 定理20.1设有光滑曲线L:r=pt1ea,B, (y=v(t), f(x,y)为定义在L上的连续函数，则 fd=(v"a.(3) 证由弧长公式知道，L上由t-t到t-(,的弧长 As,(+()dt. 由√p2(t)+w()的连续性与积分中值定理，有 返回
前页 后页 返回 二． 第一型曲线积分的计算 定理20.1 设有光滑曲线 ( ), : [ , ], ( ), x t L t y t f x y ( , ) 为定义在 L 上的连续函数, 则 2 2 ( , )d ( ( ), ( )) ( ) ( )d . (3) L f x y s f t t t t t L i i 1 证 由弧长公式知道, 上由 t t t t 到 的弧长 1 2 2 ( ) ( )d . i i t i t s t t t 2 2 由 ( ) ( ) t t 的连续性与积分中值定理, 有