长江大学：线性系统的时域分析（PPT课件）

几类特殊形式的状态转移矩阵 (3)约旦块矩阵。当A为特征值为λ的m×m维约旦块,则分块矩 阵的矩阵指数函数为 (m2-2)(m2-1) At 0 e (m2-3)!(m2-2) 00 00 0 口对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数, 可利用矩阵指数函数的展开式证明。 与

几类特殊形式的状态转移矩阵 (3) 约旦块矩阵。当Ai为特征值为i的mimi维约旦块,则分块矩 阵的矩阵指数函数为                       − − − − = − − − − 0 0 ... 0 1 0 0 ... 1 ... ... ... ... ... ( 3)! ( 2)! 0 1 ... ( 2)! ( 1)! 1 ... e e 3 2 2 1 t m t m t m t m t t i m i m i m i m A t t i i i i i i ❑ 对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数, 可利用矩阵指数函数的展开式证明

状态转移矩阵的性质 2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的 定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具 有如下性质(Φ(t)为方阵A的状态转移矩阵) 1)Φ(0)=e0=I 与

状态转移矩阵的性质 2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 • 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的 定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具 有如下性质(Φ(t)为方阵A的状态转移矩阵) 1) Φ(0)=eA0=I

状态转移矩阵的性质 2)eA(t+= eAters,Φ(t+s)=Φ(t)Φ(S) 式中t和s为两个独立的标量自变量 证明由指数矩阵函数的展开式,有 1+At+.t2+…+t+.+As+2s2+.+a-sk+ k 1+A(t+s)+-(t2+2s+2)+.+(t+s)+ e A(t+s) 4(42-1)1 e4(2-4)=c4(41-2) 3)[Φ(t2-t1)]1=Φ(t1-t2) 与

状态转移矩阵的性质 2) eA(t+s)=eAteAs ， Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s) 式中t和s为两个独立的标量自变量 证明 由指数矩阵函数的展开式,有 3) [Φ(t2-t1)] -1=Φ(t1-t2) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ... ! ( 2 ) ... 2! ( ) ... ! ... 2! ... ! ... 2! A t s k k k k k k A t A s t s k A t ts s A I A t s s k A s A t I A s k A t A I A t + = = + + + + + + + + +         + + + + +         = + + + + + e e e   ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 1 1 2 e e e A t t − A t −t A t −t − − = =

状态转移矩阵的性质 4)对于门xn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时 才成立 e(A+B)t=eAteBt 5)a"=4e"=e"4.do)=0)=)4 6)[d(t]?=c(nt) At 7)Φ(t2-t1)Φ(t1-to)=Φ(t2-to) 与

状态转移矩阵的性质 4) 对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时 才成立 e(A+B)t=eAteBt 5) 6) [Φ(t)]n=Φ(nt) 7) Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0) ( ) τ τ e e A t At = e e e , ( ) ( ) ( ) d d At At At A A t A t t A t = =  =  = 

状态转移矩阵的性质 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) x()=e46x() 4(2-1) o(t2-tsL(t1-to)x(to) e 2-ox(to =[Φ(t2-t1)Φ(t1-to)]x(to) 图3-2系统的状态转移1 而x(t2)=Φ(t2-t)x(t) 因此,性质⑦7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态 转移等效为一步状态转移如图3-2所示 与

状态转移矩阵的性质 • 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0) 而x(t2 )=Φ(t2 -t0 )x(t0 ) 因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态 转移等效为一步状态转移,如图3-2所示。 t 0 t 1 t 2 t ( ) ( ) 0 ( ) 1 1 0 t e t A t t x x − = ( )0 x t ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 2 0 2 1 e t t e t A t t A t t x x x − − = = 图3-2 系统的状态转移