拉氏变换法 因此,基于上述(S-A)4的拉氏反变换该齐 方程的解为 X t=L-i(sI-A)-]xo eAt xo 上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法 求解结果一致。 若初始时刻t≠0,对上述齐次状态方程的解作坐 标变换,则可得解的另一种表述形式:x()=e4-)x(o 口状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(4)从初始时刻到时刻t系统运动状态的转移,其转移特 性和时刻的状态完全由矩阵指数函数e46)和初始状态x(to 所决定 与
拉氏变换法 • 因此,基于上述(sI-A) -1的拉氏反变换,该齐次 方程的解为 x(t)=L -1[(sI-A) -1]x0 = eAt x0 – 上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法 求解结果一致。 – 若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐 标变换,则可得解的另一种表述形式: 0 ( ) 0 ( ) e ( ) A t t t t − x x = ❑ 状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0 )从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特 性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 和初始状态x(t0 ) 所决定。 ( ) 0 e A t−t
拉氏变换法 为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的 线性定常连续系统的状态转移矩阵如下 Φ(t)=et 因此,有如下关系式 a(t-to=e A(t-(0) x(t)=Φ(t)xo=Φ(t-to)X(to) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解, 系统状态转移矩阵有如下关系 Φ(t)=L-1[(SI-A)4]
拉氏变换法 • 为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的 线性定常连续系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt – 因此,有如下关系式 x(t)=(t)x0=(t-t0 )x(t0 ) – 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解, 系统状态转移矩阵有如下关系 (t)=L -1[(sI-A) -1] ( ) 0 0 ( ) e A t t t-t − =
拉氏变换法 口齐次状态方程的解描述了线性定 X x()=①()xo 常连续系统的自由运动 由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始时 刻的初始状态到时刻的状态 的转移刻划的如图3-1所示 0 图3-1状态转移特性 x(0)x(4 (t1-0) Φ(t2-t1)
拉氏变换法 ❑ 齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。 ➢ 由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始时 刻的初始状态到t时刻的状态 的转移刻划的,如图3-1所示。 0 t x x0 1 x(t)=(t)x0 (t) x(0) ( ) 1 x t ( 0) t 1 − ( ) 2 x t ( ) 2 1 t − t t x1 x2 0 1 t 2 t 图3-1 状态转移特性
拉氏变换法 当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定 √所以状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息 可见状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键 与
拉氏变换法 ➢ 当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 ✓ 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。 ➢ 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键
拉氏变换法 例3-1 例3-1试求如下状态方程在初始状态ⅹ0下 的解 01 解(1)首先求出矩阵指数函数e,其计算过程为 s/-A=s2+3s+2=(s+1)(s+2) s+3 (S-A) I adj(s/-A) (S+1)(S+2 s+1s+2s+1s+2 2 2 s+1s+2s+1s+2
拉氏变换法—例3-1 • 例3-1 试求如下状态方程在初始状态x0下 的解 2 1 3 2 ( 1)( 2) adj( ) 1 3 1 ( ) ( 1)( 2) 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 sI A s s s s sI A s sI A sI A s s s s s s s s s s s − − = + + = + + − + − = = − + + − − − + + + + = − + − + + + + + ❑ 解 (1) 首先求出矩阵指数函数e At ,其计算过程为 0 0 1 1 2 3 2 = = − − x x x