级数展开法(4/12) 若初始时刻to=0,初始状态X(0)=X0则可确定 go=X(O)=Xo 因此,状态ⅹ()的解可写为 x()=1+At+t2+…+,+ 2! 该方程右边括号里的展开式是n×门维矩阵函数。 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所 以称为矩阵指数函数,且记为 e4=I+At+2t2+.+2tk+ k 与
级数展开法(4/12) – 若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0 ,则可确定 q0=x(0)=x0 – 因此, 状态x(t)的解可写为 该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。 • 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所 以称为矩阵指数函数,且记为 2 2 0 ( ) ... ... 2! ! k A A k t I At t t k = + + + + + x x ... ! ... 2! 2 2 = + + + + + k k At t k A t A e I At
级数展开法(5/12) 利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写 为: x(t=eAXo 与
级数展开法(5/12) – 利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写 为： x(t)=eAtx0
拉氏变换法(1/12) 2.拉氏变换法 ·若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量 函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数 的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数 的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉 氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方 程的解, ●对该齐次状态方程x=AX,设初始时刻=0 且初始状态X(t)=x0,对方程两边取拉氏变换 可得
拉氏变换法(1/12) 2．拉氏变换法 • 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量 函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数 的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数 的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉 氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方 程的解。 • 对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0 且初始状态x(t)=x0 ,对方程两边取拉氏变换, 可得 sX(s)-x =AX(s)
拉氏变换法(2/12) 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为 x(t)=L(s-A)1]x0 下面讨论如何求解拉氏反变换L4[(S-A)4] 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中 ·对标量函数,我们有 s-d +-2+-3+…+ ea=tat +…=L[(s-a)-] 2! k! 与
拉氏变换法(2/12) – 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为 x(t)=L -1[(sI-A) -1]x0 – 下面讨论如何求解拉氏反变换L -1[(sI-A) -1]。 • 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。 • 对标量函数,我们有 2 1 1 2 3 2 2 1 1 1 ( ) ... ... 1 ... ... [( ) ] 2! ! k k k k at a a a s a s s s s a t a t at L s a k − − − − − = + + + + + e = + + + + + = −
拉氏变换法(3/12) 将上述关系式推广到矩阵函数则有 —+ .+ △ A-t e=1+At+ .+ At 2! k! 其中e称为时间t矩阵指数函数,并有 (s-4)]=L|++2+4+…+ k sS At =1+At+ 十. k 与
拉氏变换法(3/12) – 将上述关系式推广到矩阵函数则有 ... ! ... 2! ( ) ... ... 2 2 1 3 2 2 1 = + + + + + − = + + + + + − − k A t A t I At s A s A s A s I sI A k k A t k k e 其中e At称为时间t的矩阵指数函数，并有 A t k k k k k A t A t I At s A s A s A s I L sI A L = e = + + + + + − = + + + + + − − − − ... ! ... 2! [( ) ] ... ... 2 2 1 3 2 2 1 1 1