线性定常齐次状态方程的解 3.1.1线性定常齐次状态方程的解 什么是微分方程的齐次方程? 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程,即若ⅹ 是方程的解,则对任意非零的实数a,aX亦是该 方程的解。 所谓齐次状态方程,即为下列不考虑输入的自治 方程 X=AX 齐次状态方程满足初始状态x(O)-。=x() 的解也就是由初始时刻的初始状态x(40)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动。 产[D
线性定常齐次状态方程的解 3.1.1 线性定常齐次状态方程的解 • 什么是微分方程的齐次方程? – 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x 是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该 方程的解。 – 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治 方程 x’=Ax – 齐次状态方程满足初始状态 0 0 ( ) ( ) t t t t = x x = 的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0 )所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动
线性定常齐次状态方程的解 对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解 方法有 级数展开法和 拉氏变换法2种。 与
线性定常齐次状态方程的解 • 对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解 方法有 – 级数展开法和 – 拉氏变换法 2种
级数展开法 1.级数展开法 在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常 微分方程 x(t)=ax(t 在初始时刻tO=0的解 该方程中ⅹ(t)为标量变量a为常数。 ●由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有 x()=q0+41t+q212+…+qk 式中,qk(k=1,2…)为待定级数展开系数。 与
级数展开法 1. 级数展开法 • 在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常 微分方程 • 在初始时刻t0=0的解。 – 该方程中x(t)为标量变量,a为常数。 • 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 – 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有 式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。 x (t) = ax(t) x(t) = q0 + q1 t + q2 t 2 ++ qk t k +
级数展开法(2/12) 将所设解代入该微分方程,可得 1+2q2t+3q32+…+Mk++…=以(0+1+q212+…+4+… 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立 ·因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得 40,42=q1 4k=,4k-1=x,qo 2! 令ⅹ(t)的解表达式中t=0,可确定 go=X(O) 因此,X(t)的解表达式可写为 01+a+22+++-10)=0
级数展开法(2/12) – 将所设解代入该微分方程,可得 – 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立。 • 因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得 • 令x(t)的解表达式中t=0,可确定 q0=x(0) – 因此, x(t)的解表达式可写为 2 3 ( ) 2 0 1 2 2 1 q1 + q2 t + q3 t ++ k qk t k − += a q + q t + q t ++ qk t k + 2 1 0 2 1 0 1 0 , , , 1! 2 2! ! k k k a a a a a q q q q q q q q k k = = = = = − ... (0) e (0) ! ... 2! ( ) 1 2 2 t x x k a t a x t at k at k = = + + + + +
级数展开法(3/12) 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广 至求解向量状态方程的解 为此,设其解为t的向量幂级数,即 x (0=90+q1t+q2t2+.+atk+ 式中qk(k=1,2…)为待定级数展开系数向量。 将所设解代入该向量状态方程x′=Ax,可得 q1+2q2t+3q3t2+…,+kqk 1+..A(q0+q1t+q2t2+.+qk+…) 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立因此使t有相同幂次项的各项系数相等,即 可求得 41=40,2=q1 2 lo qk k k! qo
级数展开法(3/12) • 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广 至求解向量状态方程的解。 – 为此,设其解为t的向量幂级数,即 x(t)=q0+q1 t+q2 t 2+…+qk t k+… 式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。 – 将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得 q1+2q2 t+3q3 t 2 +…+kqk t k- 1+…=A(q0+q1 t+q2 t 2 +…+qk t k+…) – 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立.因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即 可求得 2 1 0 2 1 0 1 0 , , , 1! 2 2! ! k k k A A A A A k k = = = = = − q q q q q q q q