XI'ANJIAOTONGUNIVERSITY数值积分的出发点一维定积分的几何意义是曲边梯形的面积。从积分定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、XOXnX取极限。将区间[a,b]分割为n等份，每个小区间的宽度为夷远大学h=(b-a)/n
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 数值积分的出发点 将区间 [a,b] 分割为 n 等份，每个小区间的宽度为 h=(b-a)/n a b x0 一维定积分的几何意义 是曲边梯形的面积。从 积分定义可知，定积分 的基本分析方法是四步， 即分割、近似、求和、 取极限。 xn
XI'ANJIAOTONGUNIVERSITYPXi+]Z"积分转化为求和f(x)dx =f(x)dxXi=0矩形积分公式f(x)将每个小的积分区间上的积分结果Xi+lf(x)dxJx;XnXn近似取为f(x)△x = f(x,)h显然可以看出，矩形公n-l式的误差太大。下面介h则(1)式变为[ f(x)dx = Zf(x,)h绍几个实用积分公式。i=0
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 积分转化为求和 1 1 0 () () i i n b x a x i f x dx f x dx + - = ò ò = å 矩形积分公式 1 ( ) i i x x f x dx + ò () () i i fx x fxh D = 将每个小的积分区间上的 积分结果 近似取为 1 0 () ( ) n b i a i f x dx f x h - = 则(1)式变为 ò = å 显然可以看出，矩形公 式的误差太大。下面介 绍几个实用积分公式
线性近似一梯形公式XI'ANJIAOTONGUNIVERSITY在每个区间[Xi，Xi+1] 进行线性插值Xi+10(x)= f(x) ×-X + f(x) ×-XLagrangeXiEHf(x)= f(a), f(x,)= f(b), x, =a+ihn-lcbh-2=[f(a)+2Z f(a+ih)+ f(b)+O(h2)f(x)dx =i=l5R([2f(a+ih)-f(a)-f(b))+O(h2)理二i=0h3)上式又称复化梯形公式复通大学hNL()+(x)+0(h)f(x)dx =f(x)dx =2i=0i=0
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 在每个区间 [xi , xi+1] 进行线性插值 线性近似——梯形公式 1 1 1 1 1 +1 () ( ) ( ) ( )() ( ) () i i i i ii i i ii i i xx xx x fx fx xx x x fxlx fx l x j + + + + + - - = + - - = + 1 1 2 3 1 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) 2 i i i i x x i i x x h f x dx x O h dx f x f x j O h + + ò ò = + = ++ + 0 2 1 ''( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f Rx f x x x x x O x h x = -j = - - = 1 1 1 1 0 0 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 i i n n b x i i a x i i h f x dx f x dx fx fx O h + - - + = = ò ò = = ++ å å 线性插值的余项定理 Lagrange 插值 h xi xi+1 1 1 1 () ; () 2 2 i i i i x x i i x x h h l x dx l x dx + + 易得：ò ò = = + 0 1 2 1 2 0 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) [ ( ) 2 ( ) ( )] ( ) 2 [2 ( ) ( ) ( )] ( ) 2 n i n b a i n i f x f a f x f b x a ih h f x dx f a f a ih f b O h h f a ih f a f b O h - = = = = =+ = + ++ + = + - - + ò å å 上式又称复化梯形公式
二阶多项式近似一一辛普生公式XI'ANJIAOTONGUNIVERSITYXi+13X;在区间[Xi-1, Xi+1] 上对 f(x) 进行Lagrange二阶插值。2h(x - x,)(x-xi+l(x -x,-lD(x- xi+lf(x,)f(x) :X(x,-1 - x,)(xi-1 - Xi+1)(x, - xi-1)(x, - xi+1)(x -xi-1)(x-x,)f(xi+1)+O(h)+(Xi+1 -X,--)(xi+1 -)复通大学=l-(x)f(xi-1)+l(x)f(x,)+li+i(x)f(x+)+O(h)
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 二阶多项式近似——辛普生公式 在区间 [xi-1, xi+1] 上对 f(x) 进行 Lagrange二阶插值。 1 11 1 1 11 1 1 1 3 1 1 11 11 11 3 ( )( ) ( )( ) () ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) () ( )( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ) ii i i i i i ii i i i i i i i i i ii i i i i ii i xxxx xx xx fx fx fx x xx x x x x x xx xx fx O x xx x l xfx lxfx l xfx h O h + - + - - - + - + - + + - + - - + + - - - = + - - - - + + - - = ++ + 2h xi-1 xi xi+1
二阶多项式近似一辛普生公式XI'ANJIAOTONGUNIVERSITY4hhhXi+1Xi+lXi+1容易验证l.(x)dx)dx =Ddx:X-X:333J xi-1J xi-1J x;-1Xi+[f(xi-1)+4 f(x,)+ f(xi+1))+O(h4)dx =?Xi.f(dr- rm f(idr[a,b|区间2n等分，h=(b-a)/2n,x,=a+kh(k=0,1,...2n)对于每个[xi,Xi+i]区间利用Simpson公式，然后求和可得：n-1n-1[~ f(x)dx ==lf(a)+4Zf(a+(2k+ 1)h)+2f(a +2kh)+ f(b))栏上式又称复化Simpson公式
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 二阶多项式近似——辛普生公式 1 1 1 1 4 ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] ( ) 3 i i x i ii x h f x dx f x f x f x O h + - - + = ++ + ò 2 2 2 /2 1 0 /2 1 2 21 2 2 0 3 () () [ ( ) 4 ( ) ( )] ( ) 3 j j n b x a x j n jjj j f x dx f x dx h f x fx fx O h + - = - + + = = = + + + ò ò å å 1 11 1 11 1 1 4 () ; () ; () 33 3 iii iii xxx iii xxx hhh l x dx l x dx l x dx +++ - òòò - == = + ， 容易验证 k i-1 i+1 1 1 0 1 [a,b] 2n h=(b-a)/2n, x =a+kh (k=0,1,.2n) [x ,x ] Simpson ( ) [ ( ) 4 ( (2 1) ) 2 ( 2 ) ( )] 3 Simpson n n b a k k h f x dx f a f a k h f a kh f b - - = = ò = + ++ + + + å å 将 区间 等分， 对于每个 区间利用 公式，然后求和可得： 上式又称复化 公式