《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第九讲 刚体定轴转动和平面平行运动

第九讲 刚体定轴转动 和平面平行运动

第九讲 刚体定轴转动 和平面平行运动

本讲导读 惯量椭球和惯量主轴 定轴转动角动量定理和机械能守恒律 定轴转动的轴上附加力 刚体平面平行运动的运动学 刚体平面平行运动的动力学 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理 刚体平面平行运动时机械能守恒律

本讲导读 • 惯量椭球和惯量主轴 • 定轴转动角动量定理和机械能守恒律 • 定轴转动的轴上附加力 • 刚体平面平行运动的运动学 • 刚体平面平行运动的动力学 • 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理 • 刚体平面平行运动时机械能守恒律

惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体,将转动惯量写为积分形式 ∫(2+=2)m1=1m=∫xydm +x dm yy an 1==∫(2+y)知m dm 对通过空间某一点O的轴线, a,月,y为转动瞬轴相对于坐 (dm) 标轴的方向余弦,则 O1=,0y=B,02=y0 1=la+lB+lr-21. ra-2Im aB 一次算出轴转动惯量和惯量积,通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出

一、惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式 对通过空间某一点O的轴线, , ,  为转动瞬轴相对于坐 标轴的方向余弦, 则 I xx (y z )dm 2 2  = + ( )  I yy = z + x dm 2 2 ( )  Iz z = x + y dm 2 2  I xy = I yx = x ydm  I xz = Izx = zxdm  I yz = Izy = yzdm x = ,y =  ,z =  I I xx I yy I z z  2I yz  2I z x 2I xy  2 2 2 = + + − − − 一次算出轴转动惯量和惯量积, 通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出

个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物 理量,代表刚体转动的惯性的量度,可以写为矩阵的 形式 并叫它惯量张量,元素叫惯量张量的组元或惯量系数 利用矩阵乘法,得 I=a B βy

三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物 理量, 代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩阵的 形式 并叫它惯量张量, 元素叫惯量张量的组元或惯量系数. 利用矩阵乘法,得           − − − − − − zx zy z z yx yy yz xx xy xz I I I I I I I I I ( )                     − − − − − − =       z x z y z z yx yy yz xx xy xz I I I I I I I I I I                     − − − − − − =           z y x z x z y z z yx yy yz xx xy xz z y x I I I I I I I I I L L L   

惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时刚体转 动时惯量系数随之而变.通常选取固着在刚体上、并随着刚体 同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数 显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除, 如在转动轴上,截取线段 00 I √ =R I为刚体绕该轴的转动惯量,则Q点的坐标将是 x=Ra,y=rB,2=Ry 因过O点有很多转轴,则有很多的Q点,这些点的轨迹是 xx2+/my2+/=x2-2/=y2-2/2x2x-2/xxy=1 这是一个中心在O点的椭球,通常叫惯量椭球,如O为质心, 又叫中心惯量椭球

惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时, 刚体转 动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体上、并随着刚体一 同转动的动坐标系, 这样, 惯量系数都是常数． 显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除, 如在转动轴上, 截取线段 R I OQ = = 1 I 为刚体绕该轴的转动惯量, 则Q点的坐标将是 x = R, y = R,z = R 因过O点有很多转轴, 则有很多的Q点，这些点的轨迹是 2 2 2 1 2 2 2 I xx x + I yy y + I z z z − I yz yz − I z x zx − I xy x y = 这是一个中心在O点的椭球, 通常叫惯量椭球, 如O为质心, 又叫中心惯量椭球