第七讲 机械能(二) 一维势能曲线 和碰撞再研究
第七讲 机械能（二） ——一维势能曲线 和碰撞再研究
本讲导读 维情况下存在势能函数的条件 总能量、动能和势能的图示 平衡点的稳定性相图 碰撞中的能量转化
本讲导读 • 一维情况下存在势能函数的条件 • 总能量、动能和势能的图示 • 平衡点的稳定性相图 • 碰撞中的能量转化
维势能曲线 物体一维运动的势能曲线 V=v(x) 对一维运动只要力是坐标 B 的单值函数一定是保守力 A”B B (i)保守力f dv(x 指向势能下降的方向,大小正比于势能曲线的斜率
一、一维势能曲线 V =V(x) 物体一维运动的势能曲线 x0 A’ A’’ A B’ B’’ C B E1 E2 V(x) x 对一维运动,只要力是坐标 的单值函数,一定是保守力. （i）保守力 x V x f d d ( ) = − 指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率
i)总能量E水平线在各点 相距下边势能曲线的高度, 代表质点在该处的动能由E 于经典动能为正,所以水平 线低于势能曲线的区间,是B141AB 具有该能量的质点不能达到 的地段 (ⅲi)势能曲线在局部的最低(极小)点,都是稳定平衡 点.总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范 围内活动势能曲线在局部的最高(极大)点,都是不稳 定平衡点.总能量略高于它们的质点,都会远离而去
x0 A’ A’’ A B’ B’’ C B E1 E2 V(x) x （ii）总能量E水平线在各点 相距下边势能曲线的高度， 代表质点在该处的动能. 由 于经典动能为正, 所以水平 线低于势能曲线的区间, 是 具有该能量的质点不能达到 的地段. （iii）势能曲线在局部的最低(极小)点, 都是稳定平衡 点. 总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范 围内活动. 势能曲线在局部的最高(极大)点, 都是不稳 定平衡点. 总能量略高于它们的质点, 都会远离而去
(iv)在势能曲线任何极小点附近,质点可能围绕着 它做小振动.可以如下计算振动周期 (v)以A点(x0)为例,计算小振动的振动周期 显然势能在这里一阶导数为零,二阶导数大于零在 △x=xx0不大的范围内,把势能函数展开成泰勒级数: (x)=(x0)+V(x0)Ax+V"(x0)(x)+ =(x)+"(x)△x)2+
（iv）在势能曲线任何极小点附近, 质点可能围绕着 它做小振动. 可以如下计算振动周期 （v）以A点(x0 )为例, 计算小振动的振动周期 显然势能在这里一阶导数为零, 二阶导数大于零. 在 x=x-x0不大的范围内, 把势能函数展开成泰勒级数: ( ) ( ) = + + = + + + 2 2 0 1 0 2 2 0 1 0 0 ( ) ''( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) V x V x x V x V x V x x V x x