第十七讲 哈密顿函数
第十七讲 哈密顿函数
本讲导读 广义动量守恒原理 哈密顿函数 非完整系统的动力学 拉格朗日动力学的推广
本讲导读 • 广义动量守恒原理 • 哈密顿函数 • 非完整系统的动力学 • 拉格朗日动力学的推广
广义动量守恒原理 如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标qa即OL/0qa 0,这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标)于是,拉格 朗日方程5,29)给出 d al 0 dt a 即广义动量守恒 如果循环坐标是系统的整体平移坐标,拉格朗日函数不包含整体 平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的,广义动量守 恒原理就归结为动量守恒原理.若拉格朗日函数不包含整体转动 坐标,拉格朗日函数L对于整体转动不变,拉格朗日函数是各向同 性的,则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件 (内力的矢量和为零,内力的力矩和为零,而广义动量守恒原理则 并不以牛顿第三定律先决条件
如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q , 即L/ q =0, 这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标). 于是, 拉格 朗日方程(5.29)给出 0 d d = q L t 即广义动量守恒 如果循环坐标是系统的整体平移坐标, 拉格朗日函数不包含整体 平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的, 广义动量守 恒原理就归结为动量守恒原理. 若拉格朗日函数不包含整体转动 坐标, 拉格朗日函数L对于整体转动不变, 拉格朗日函数是各向同 性的, 则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理. 在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件 (内力的矢量和为零, 内力的力矩和为零), 而广义动量守恒原理则 并不以牛顿第三定律先决条件. 一、广义动量守恒原理
例1质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上,质量为m的 光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下求这两个楔子的加速度 解:大楔子在水平方向运动,小楔子在大楔子 斜边上运动.系统有两个自由度.取桌面上的 固定点O,大楔子质心相对于O点坐标记作X 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜 边的坐标记作qX和q可作为系统的广义坐标 主动力是两个楔子所受的重力,大楔子的势能在运动过程中 不起变化,可以不考虑.只要讨论小楔子的势能就够了.计算动能 的时候要注意,小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随 着大楔子在水平方向运动的速度 T=MX2+m(v水平+v2竖直 1Mx2+1(x+40s)+(my
例1 质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 质量为m的 光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下. 求这两个楔子的加速度. 解: 大楔子在水平方向运动, 小楔子在大楔子 斜边上运动. 系统有两个自由度. 取桌面上的 固定点O, 大楔子质心相对于O点坐标记作X. 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜 边的坐标记作q,X和q可作为系统的广义坐标. 主动力是两个楔子所受的重力, 大楔子的势能在运动过程中 不起变化, 可以不考虑. 只要讨论小楔子的势能就够了. 计算动能 的时候要注意, 小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的, 而目还有随 着大楔子在水平方向运动的速度. ( ) ( cos ) ( sin ) , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 MX m X q q T MX m v v = + + + = + 水平 + 竖直
V=mggsin 6 于是,拉格朗日方程给出运动方程 d MX+(X+coso)=0 dt d dr m(X cos 8+9]+mg sin 0=0 大楔子的加速度以及小模子相对于大楔子的加速度为 mg sin 0 cosB Mtmsin-e (M+m)g sin 0 M+msin 0
V = mgqsin 于是, 拉格朗日方程给出运动方程 + + = + + = ( cos ) sin 0 d d ( cos ) 0 d d m X q mg t MX m X q t 大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为 2 sin sin cos M m mg X + = ( ) 2 sin sin M m M m g q + + = −