第二十一讲 分析力学作业分析
第二十一讲 分析力学作业分析
解题方法和要点 °虚功原理与达朗贝原理 虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为: (1)判断约束是否为理想约束;(光滑接触,刚性连接) 2)找出主动力,及作用点; (3)确定自由度,并选择广义坐标 (4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表 (5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以 解出问题 对运动问题加入惯性力转化为平衡问题就是达朗贝原理
解题方法和要点 •虚功原理与达朗贝原理 虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为: (1)判断约束是否为理想约束;(光滑接触,刚性连接) (2)找出主动力,及作用点; (3)确定自由度,并选择广义坐标; (4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表 示; (5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以 解出问题 对运动问题加入惯性力转化为平衡问题,就是达朗贝原理
拉格朗日方程 利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提 供了一个统一而普遍的解决方案主要适用于完整体系(几何约束 和可积分运动约束及不可解(双面)约束在拉氏力学中,义动量, 广义坐标广义动能都内涵更丰富解题一般方法 (1)首先正确判断完整体系自由度适当选取广义坐标;s=3n-k (2)建立坐标变换公式,尽量不显含时间; (3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程;用广义量表示动 能,用广义坐标表示广义力.对于保守系统,写出广义坐标表示的 势能.最后写出系统的拉格朗日函数 (4)列出拉格朗日方程;检查有无循环坐标简化方程组; (5)利用初始条件解出拉格朗日方程 如不是保守体系,要找到和自由度数目相同的广义力分量 Q=∑ i=1
•拉格朗日方程 利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提 供了一个统一而普遍的解决方案.主要适用于完整体系(几何约束 和可积分运动约束及不可解(双面)约束).在拉氏力学中,广义动量, 广义坐标广义动能都内涵更丰富.解题一般方法 (1)首先正确判断完整体系自由度,适当选取广义坐标;s=3n-k (2)建立坐标变换公式,尽量不显含时间; (3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程;用广义量表示动 能, 用广义坐标表示广义力. 对于保守系统, 写出广义坐标表示的 势能. 最后写出系统的拉格朗日函数. (4)列出拉格朗日方程;检查有无循环坐标,简化方程组; (5)利用初始条件解出拉格朗日方程. 如不是保守体系,要找到和自由度数目相同的广义力分量. ( s) q r Q F α i n i i 1,2, , 1 = = =
思考题 51)虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理解平衡 问题有何优点及缺点? 虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位 移虚功正是作用在体系的力(包括约束力在任意虚位移上作的功 因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无 关在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便缺点:理 想约束,不能直接求解约束力,但可以解除约束来求得 52)为什么在拉格朗日方程中,不包含约束反作用力?又广义 坐标及广义力的含义为何?我们根据什么关系可以由一个量的量 纲定出另一个量的量纲? 由于拉格朗日方程是在理想约束下得到约束力虚功为零,故在 拉氏方程中不再包括约束力.广义坐标是确定完整体系的几何位 置彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响广义力可以是力 力矩压强,电场等等同时它不包括约束力广义力的量纲可以用能 量量纲减去广义坐标的量纲得到
5.1)虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理解平衡 问题有何优点及缺点? 一、思考题 虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位 移.虚功正是作用在体系的力(包括约束力)在任意虚位移上作的功. 因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无 关.在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便.缺点:理 想约束,不能直接求解约束力,但可以解除约束来求得. 5.2)为什么在拉格朗日方程中,Q不包含约束反作用力?又广义 坐标及广义力的含义为何? 我们根据什么关系可以由一个量的量 纲定出另一个量的量纲? 由于拉格朗日方程是在理想约束下得到,约束力虚功为零,故在 拉氏方程中不再包括约束力. 广义坐标是确定完整体系的几何位 置,彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响.广义力可以是力, 力矩压强,电场等等同时它不包括约束力.广义力的量纲可以用能 量量纲减去广义坐标的量纲得到
53)广义动量P和广义速度是不是只相差一个乘数m?为什 么广义动量比广义速度更富有物理意义? 广义动量Pa=Bn与广义速度并不仅仅是差_个乘数,义动 量可能是动量也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量, 是比广义速度更为基本的物理量 54)既然 是广义动量,那么根据动量定理,a(a层是否应 等于广义力?什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能 说出它的物理意义和所代表的物理量吗? 它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减 去拉氏力,通常又叫做广义惯性力. 55)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系,能否得 到拉氏方程? 拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用 于完整系如不完整不能使用它
5.3)广义动量P和广义速度是不是只相差一个乘数m? 为什 么广义动量比广义速度更富有物理意义? 广义动量 ,与广义速度并不仅仅是差一个乘数,广义动 量可能是动量,也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量, 是比广义速度更为基本的物理量. q T p = 5.4) 既然 是广义动量,那么根据动量定理, 是否应 等于广义力?为什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能 说出它的物理意义和所代表的物理量吗? q T ( ) q T dt d 它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减 去拉氏力,通常又叫做广义惯性力. 5.5)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系, 能否得 到拉氏方程? 拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用 于完整系.如不完整,不能使用它