《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第十七讲 小振动

第十七讲 小振动

第十七讲 小 振 动

本讲导读 动能和势能的泰勒展开 线性齐次方程的求解 简正频率 简正坐标

本讲导读 • 动能和势能的泰勒展开 • 线性齐次方程的求解 • 简正频率 • 简正坐标

多自由度力学体系的小振动 个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的 广义坐标均等于零如果力学体系自平衡位置发生微小偏 移,力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数, go t 9,B+O(q) og 2 d-1(aqaaq 0 利用保守体系的平衡方程,略去二级以上的高级项并 令0,就得到 caBala B

一、多自由度力学体系的小振动 一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的 广义坐标均等于零. 如果力学体系自平衡位置发生微小偏 移, 力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数, ( ) 2 1 2 1 1 0 2 1 0 0 q q O q q q V q q V V V s s +            +           = +  = = =          利用保守体系的平衡方程, 略去二级以上的高级项并 令V=0, 就得到     V c q q s = = 2 , 1 1

在稳定约束时,动能T只是速度的二次齐次函数,即 T aaB9a9B 式中系数a是广义坐标q的显函数把aa在力学体系 平衡位形的区域内展成泰勒级数,就得到 =(an)2+∑ q12++O(q) 由于q值很小,因此展开式中只保留头一项,动能7变为 T ∑ B a,B=1 现在式中系数a是不变的展开式中的系数具有特别名称,即canB 称为恢复系数或准弹性系数,而aB则称为惯性系数

在稳定约束时, 动能T只是速度的二次齐次函数, 即 式中系数a是广义坐标q的显函数. 把a 在力学体系 平衡位形的区域内展成泰勒级数, 就得到 由于q值很小, 因此展开式中只保留头一项, 动能T变为     T a q q s    = = 2 , 1 1 ( ) ( ) 1 0 0 q O q q s + +           = +=              T a q q s    = = 2 , 1 1 现在式中系数a 是不变的. 展开式中的系数具有特别名称, 即c  称为恢复系数或准弹性系数, 而a 则称为惯性系数

所以 aT d at aB B2 ∑ aT B1B2 0 dt a CaBo B 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体 系在平衡位置附近的动力学方程 ∑( )=0.(=12…,s) B=1 这是线性齐次常微分方程组,它的解分=Ae2 式中AB及是常数把这表示式代回,得

所以 , 0 d d , 1 1 =   =          =     = =          q T a q q T t a q q T s s         c q q V s = =   1 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体 系在平衡位置附近的动力学方程 ( ) ( ) = + = = s a q c q s 1 0, 1,2, ,         这是线性齐次常微分方程组, 它的解 t q A e   =  式中A 及是常数. 把这表示式代回, 得