贝叶斯估计方法就是把未知参数视为一个具有已知分 布丌(6)的随机变量,从而将先验信息数学形式化并加以 利用的一种方法,通常丌()为先验分布。先验分布()与 其他分布一样也有离散型和连续型之分,这要视是离散 型随机变量还是连续型随机变量而定。 设总体X的分布密度为p(x,6),B∈,0的先验分布为 (),由于为随机变量并假定已知的先验分布,所 以总体X的分布密度p(x6)应看作给定时X的条 件分布密度,于是总体X的分布密度p(x,6)需改用 p(x16)来表示 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 贝叶斯估计方法就是把未知参数 视为一个具有已知分 布 ( ) 的随机变量，从而将先验信息数学形式化并加以 利用的一种方法，通常 ( ) 为先验分布。先验分布 ( ) 与 其他分布一样也有离散型和连续型之分，这要视 是离散 型随机变量还是连续型随机变量而定。 设总体X 的分布密度为 p x( , ), ， 的先验分布为 ( ) ，由于 为随机变量并假定已知 的先验分布，所 以总体 X 的分布密度 p x( , ) 应看作给定 时 X 的 条 件分布密度，于是总体X 的分布密度 p x( , ) 需改用 p x( | ) 来表示
设X=(X1,…,Xn)为取自总体X的一个样本,当给定样 本值x=(x1…,xn)时,样本X=(X…,A)的联合密度为 qo 0)=1p(x1|0 9 由此,样本X和0的联合概率分布为 f(x,b)=q(x|6)(⊙) 由乘法公式知 f(x,)=n(q(x|6)=m(x)h(|x)。 于是有 h(|x) (6)q(x| (∈) m(x (4.8) 湘潭大学数学与计算科学学院一贝=7/m
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 设 1 ( , , ) X X X = n 为取自总体X 的一个样本，当给定样 本值 1 ( , , ) n x x x = 时，样本 1 ( , , ) X X X = n 的联合密度为 1 1 ( , , | ) ( | ) n n i i q x x p x = = ， 由此，样本 X 和 的联合概率分布为 f x q x ( , ) ( | ) ( ) = 。 由乘法公式知 f x q x m x h x ( , ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = = 。 于是有 ( ) ( | ) ( | ) , ( ) ( ) q x h x m x = ， （4.8）
称h(0|x)为给定样本X=x时,O的后验分布,它是给定 样本后6的条件分布。 其中m(x)是(X,⊙)关于样本X的边缘分布。 如果θ是连续型随机变量,则 m(x)=q(x|6)(l0 如果θ是离散型随机变量,则 m(x)=∑q(x|0)z(O) 贝叶斯估计方法认为后验分布集中体现了样本和先验 分布两者所提供的关于总体信息的总合,因而估计应 建立在后验分布的基础上来进行。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 称h x ( | ) 为给定样本X x = 时， 的后验分布，它是给定 样本后 的条件分布。 其中m x( ) 是( , ) X 关于样本 X 的边缘分布。 如果 是连续型随机变量，则 m x q x d ( ) ( | ) ( ) = 。 如果 是离散型随机变量，则 m x q x ( ) ( | ) ( ) = 。 贝叶斯估计方法认为后验分布集中体现了样本和先验 分布两者所提供的关于总体信息的总合，因而估计应 建立在后验分布的基础上来进行
例47为了提高某产品的质量,公司经理考虑增加 投资来改进生产设备,预计需投资90万元,但从投资 效果看,顾问们提出了两种不同意见: 改进生产设备后,高质量产品可占90%, 2:改进生产设备后,高质量产品可占70% 经理当然希望发生,公司效益可得到很大提高,投 资改进设备也是合算的。但根据下属二个部门(顾问 们)过去建议被采纳的情况,经理认为的可信度只 有40%,B2的可信度是60%,即 丌()=0.4,x(2)=06。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 例 4.7 为了提高某产品的质量，公司经理考虑增加 投资来改进生产设备，预计需投资 90 万元，但从投资 效果看，顾问们提出了两种不同意见： 1 ：改进生产设备后，高质量产品可占 90%， 2 ：改进生产设备后，高质量产品可占 70%。 经理当然希望1 发生，公司效益可得到很大提高，投 资改进设备也是合算的。 但根据下属二个部门（顾问 们）过去建议被采纳的情况，经理认为 1 的可信度只 有 40%， 2 的可信度是 60%，即 1 2 ( ) 0.4, ( ) 0.6 = =
这二个都是经理的主观概率。经理不想仅用过去的经验 来决策此事,想慎重一些,通过小规模试验后观其结果 再决定。为此做了一项试验,试验结果(记为A)如下 A:试制5个产品,全是高质量的产品。 经理对这次试验结果很高兴,希望用此试验结果来 修改他原来对1和2的看法,即要求后验概率饿(B|A) 与h(24)。这可采用贝叶斯公式来完成。 现已有先验概率z()与n(2)。还需要二个条件概率 P(A|a)与P(A2)。 由二项分布算得 P(A|)=(0.9)=0.590,P(A|B2)=(0.7)3=0.168。 湘潭大学数学与计算科学学院一四10层
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 这二个都是经理的主观概率。经理不想仅用过去的经验 来决策此事，想慎重一些，通过小规模试验后观其结果 再决定。为此做了一项试验，试验结果（记为A）如下： A ：试制5个产品，全是高质量的产品。 经理对这次试验结果很高兴，希望用此试验结果来 修改他原来对1 和 2 的看法，即要求后验概率 1 h A ( | ) 与 2 h A ( | ) 。 这可采用贝叶斯公式来完成。 现已有先验概率 1 ( ) 与 2 ( ) 。还需要二个条件概率 1 P A( | ) 与 2 P A( | ) 。 由二项分布算得 5 5 1 2 P A P A ( | ) (0.9) 0.590, ( | ) (0.7) 0.168 = = = =