会制根轨迹的数学依据 用相角条件画出图示系 统K:0→+∞变化时的根轨 R()、 s(+p) 迹,并用幅值条件确定使闭 环系统的一对共轭复数极点 的限尼0饭07K时的 值。上述系统的相角条件和幅值条件为 ∠G(S)H()=∠ ∠s-∠(S+p)=±180°(k+1) S(+p) K S(s+p)
绘制根轨迹的数学依据 用相角条件画出图示系 统 变 化 时的根轨 迹，并用幅值条件确定使闭 环系统的一对共轭复数极点 的阻尼比 时 的 值。 K : 0 → +∞ ξ = 0.707 K ( ) 180 ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) = −∠ − ∠ + = ± ° + + ∠ = ∠ s s p k s s p K G s H s 上述系统的相角条件和幅值条件为 1 ( ) ( ) = + = s s p K G s
会制根轨迹的数学依据 在s平面上画出开环极点 系统特征方程有两个开 Ap 环极点S1=0、52=-p。 62 确定实轴上的根轨迹 首先确定正实轴上是否 有根轨迹。在正实轴上任取 点s,则∠s=∠(s+p)=0°,不满足相角条件。因 此,正实轴上没有根轨迹。 在负实轴(0.,-p)间任取一点,则满足相角条 件∠s-∠(s+p)=-180°,是根轨迹的一部分
绘制根轨迹的数学依据 在 s 平面上画出开环极点 系统特征方程 有 两 个 开 环 极点、。 0 s p 1 = s 2 = − 确定实轴上的根轨迹 首先确定正实轴上是否 有根轨迹。 在正实轴上任取 一点 ，则 ，不满足相角条件。因 此，正实轴上没有根轨迹。 s ∠ s = ∠ ( s + p ) = 0 ° 在负实轴 间任取一点 ，则满足 相 角 条 件， ( 0, − p ) s − ∠ s − ∠ ( s + p ) = −180 ° ，是根轨迹的一部分
会制根轨迹的数学依据 确定s平面上除实轴以外的其它根轨迹 在s平面上任取一点,令∠S1=日1、∠(s1+p) 若s位于根轨迹上,则满足相角条件θ1+O2=180°,显 然,只有位于坐标原点0与-p间线段的垂直平分线 上的点,才能满足相角条件,因此该垂直平分线也 是根轨迹的一部分 确定一对阻尼比ξ=0.707的共轭复数闭环极点 由于闭环极点位于0=arco=arco.o.707=45°的 直线上,所以 1.2 K=(s+p)2
绘制根轨迹的数学依据 确定 s平面上除实轴以外的其它根轨迹 在 平面上任取一点 ，令 、 。 若 位于根轨迹上，则满足相角条件 ，显 然，只有位于坐标原点0 与 间线段的垂直平分线 上的点，才能满足相角条件，因此该垂直平分线也 是根轨迹的一部分。 − p + =180 ° θ1 θ 2 s 1s ∠ 1 = θ1 s 1 2 ∠ ( s + p ) = θ 1s 确定一对阻尼比 ξ = 0.707 的共轭复数闭环极点 由于闭环极点位于 的 直线上，所以 θ = arccos ξ = arccos 0.707 = 45 ° 2 2 1,2 p j p s = − ± 2 ( ) 2 2 2 p K s s p p j p s = + = = − +
第三节绘制根轨迹的一般规则 规则1根轨迹的连续性 当K由0连续变化到∞时,系统的闭环特征根也 定是连续变化的,所以根轨迹也必然是连续的。 规则2根轨迹的对称性 由于闭环特征方程为实系数代数方程,相应的 特征根或为实数,或为共轭复数,或两者兼而有 之。因此,根轨迹必然对称于实轴 这样,只需画出s上半平面的根轨迹,下半平面 的根轨迹可根据对称性原理作出
第三节 绘制根轨迹的一般规则 规则1 根轨迹的连续性 当 由0连续变化到∞时，系统的闭环特征根也 一定是连续变化的，所以根轨迹也必然是连续的。 K 规则2 根轨迹的对称性 由于闭环特征方程为实系数代数方程，相应的 特征根或为实数，或为共轭复数，或两者兼而有 之。因此，根轨迹必然对称于实轴。 这样，只需画出s上半平面的根轨迹，下半平面 的根轨迹可根据对称性原理作出。 s
会制根轨迹的一般规则 规则3根轨迹的分支数及其起点和终点 当K:0→>∞变化时,根轨迹共有n条分支,它们 分别从n个开环极点出发,其中m条根轨迹分支的 终点为m个开环零点,n-m条根轨迹分支的终点在 无穷远处。如果把无穷远处的终点称为无限零点, 则根轨迹的终点有m个有限零点,n-m个无限零点。 证明设系统闭环特征方程为 ∏(+p1)+K∏(+z)
绘制根轨迹的一般规则 规则3 根轨迹的分支数及其起点和终点 当 变化时， 根 轨 迹共有 条分支，它们 分别从 个开环极点出发，其中 条根轨迹分支的 终点为 个 开环零点， 条根轨迹分支的终点在 无穷远处。如果把无穷远处的终点称为无限零点， 则根轨迹的终点有 个有限零点， 个无限零点。 K : 0 → ∞ n m m n − n m m n − m 证明 设系统闭环特征方程为 ( ) ( ) 0 1 1 ∏ + + ∏ + = = = m i i n j j s p K s z