§73变分问题的欧拉方程 力学第一性原理 1、牛顿定律 2、虚功原理 3、达朗贝尔原理 4、最小作用量原理 (1)等时不等能变分—哈密顿原理 (2)不等时等能变分—莫培督原理
§7.3 变分问题的欧拉方程 力学第一性原理 1、牛顿定律 2、虚功原理 3、达朗贝尔原理 4、最小作用量原理 （1）等时不等能变分——哈密顿原理 （2）不等时等能变分——莫培督原理
变分问题的欧勒程 最速落径问题 铅直平面内在所有联结二个 定点A和B的曲线中,找出一条 曲线来,使得初速度爆的质点, B 在重力作用下,自A点沿它无摩 擦地下滑时,以最短时可到达B点。 解:这是泛函极值问题 速度v与坐标y(x)的关系:v=√2gy Is v(dx)2+(dy) 1+ydx dt dt dt
dx, dt 1 y' dt (dx) (dy) dt ds v v y(x) : v 2gy , B A A B 1 2 2 2 + = + = = = 而 速 度 与坐标 的关系 解：这是泛函极值问题。 擦地下滑时，以最短时间到达 点 。 在重力作用下，自 点沿它无摩 曲线来，使得初速度为零的质点， 定 点 和 的曲线中，找出一条 铅直平面内在所有联结二 个 、最速落径问题 一、变分问题的欧勒方程 o x y A B
变分问题的欧勒差程 l、最速落径问题 ds v(dx)+(dy) dt dt B + y dt .质点自沿曲线自由滑到点所需的时间为 Bv1+y T dt gy 问题:取什么函数时泛函取极小值
问 题 取什么函数时泛函取极小值。 质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为 、最速落径问题 一、变分问题的欧勒方程 : , dx 2gy 1 y' T dt dx dt 1 y' dt (dx) (dy) dt ds v 1 BA BA xx 2 xx 2 2 2 + = = + = + = = o x y A B
泛函Ty(x川取极值的条件为8T=0 变分和微分的运算相似不同处为8x=0,dx≠0。 变分运算性质:8(dy)=d(6y) dy 8(dy )dx-8(dx )dy dx d(Sy)dx-d(δx)d dx d(8 泛函J(x)的普遍形式为Jy(x)=「f(y,x)d
= = − = − = = = = 2 1 x x 2 2 J[y(x)] : J[y(x)] f(y,y',x)dx ( y) dx d dx d( y)dx d( x)dy dx (dy )dx (dx)dy dx dy (dy ) d( y), x 0 dx 0 T[y(x)] T 0. 泛 函 的普遍形式为 变分运算性质： 变分和微分的运算相似，不同处为 ， 。 泛 函 取极值的条件为
变分运算性质:64)=d8y),)=4(6y dx dx 泛函J(对的普遍形式为Jx)=(y,y,x 8J=8 f(y,y, x )dx= 8f(y,y, x )dx of of δy+8y’dx av av (+(()( ay0×￠ V aX of (( Sydx =0
ydx 0 y f y' f dx d y y' f y dx y' f dx d y y' f dx d y y f y' dx y' f y y f J f(y,y',x)dx f(y,y',x)dx J[y(x)] : J[y(x)] f(y,y',x)dx ( y) dx d dx dy (dy ) d( y), 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x = − − = − + = + = = = = = = 泛 函 的普遍形式为 变分运算性质：