例:写出粒子在中心势场U=-a/r中的哈密顿 函数和正则方程。 解:哈密顿函数:H=(P2+p2/r2) a 2m aH p 正则方程: =00 a →m(-r02)= oH a dr mr OH 9=098 e 2 r→p=mr2=常数 OH 0
例：写出粒子在中心势场 U = - a / r 中的哈密顿 函数和正则方程。 常 数 正则方程： 解 哈密顿函数： = = = = − = = − = − = − = − = = = + − 2 2 2 2 3 2 2 r r r 2 2 2 r p mr 0 H p mr p p H r a m(r r ) r a mr p r H p m p p H r r a (p p / r ) 2m 1 : H
例:写出带点粒子在电磁场中的哈密顿函数 解:L=m2-q+qAv 2 OL 粒子的动量为:pmv+qA 哈密顿函数:H=∑pq-L=pv-L (mv+q4)…v mv+qop-qAV =mv qp 2 (p-qA)+qop 2m
例：写出带点粒子在电磁场中的哈密顿函数 = − + = + = + − + − = − = − = + = = − + (p qA) q 2m 1 mv q 2 1 mv q qA v 2 1 (mv qA) v H p q L p v L mv qA v L p mv q qA v 2 1 L 2 2 2 i i i 2 哈密顿函数： 粒子的动量为： 解 ：
例:轴为竖直而顶点在下的抛物 线金属丝,以匀角速o绕轴转动 质量为m的小环,套在此金10q 属丝上,并可沿着丝滑动。求 小环在x方向的运动微分方程。 mg 已知抛物线方程为x2=4ay, 式中a为常数。 解:T=m(x2+y2+02x2)/2,U=mgx2/a L=T-U=l吨2(+x242)+x]mx2/4a H=T2-T+U=mx2(1+x2/4a2)-02x2]+mgx2/4a
例: 轴为竖直而顶点在下的抛物 线金属丝，以匀角速ω绕轴转动， 一质量为 m 的小环，套在此金 属丝上，并可沿着丝滑动。求 小环在 x 方向的运动微分方程。 已知抛物线方程为x 2 = 4ay ， 式中 a 为常数。 ω mg vr x o x y mx (1 x / 4a ) x mgx / 4a 2 1 H T T U m x (1 x / 4a ) x mgx / 4a 2 1 L T U T m(x y x )/ 2, U mgx / a 2 2 2 2 2 2 2 o 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = + − + = − = + + − = + + = 解 ：
解:L=m2(1+x2/4a2)+02x2]y2-mgx2/4a H=m2(+x2142)-o3x2]2+mgx2/4a OL =mx(1+x2/4a2)→x ax m(1+x2/4a2) H m@2x2+gx2 2m(m(1+x2/4a2))2 4a p、=m(1+2)X+m2x2 a a aH p X/2a +max-mg x2m(1+x2/4a2) 2a =m(1+2)X+mx-mo'x+% ia 0 4a
0 2a x x m x mg 4a x )x m 4a x m(1 2a x m x mg (1 x / 4a ) x / 2a 2m p x H x 2a x )x m 4a x p m(1 x 4a mg m x 2 1 m(1 x / 4a ) p 2m 1 H m(1 x / 4a ) p mx(1 x / 4a ) x x L p H m x (1 x / 4a ) x / 2 mgx / 4a L m x (1 x / 4a ) x / 2 mgx / 4a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + − + = + − + = − = + + − + + = + = + = = = + − + = + + − 解 ：
非保守体系的哈密顿正则方程 OH q3 Op OH (j=1,2…s) P;=a0
非保守体系的哈密顿正则方程 （j 1，2 s） Q q H p p H q j j j j j = + = − =