例L1-1证明:对任何实数a,b成立不等式 I a+b a b 1+a+bI+|a「1+|b 例L1-12证明不等式空·“2n1 例1.1-18设f(x)动、 求f(f(x),f(f(f(x),f f(r) 例11-19求下列函数的反函数及反函数的定义域 x,-∞<x<1 - sInx ≤x≤x) (2)y={x2,1≤x≤4 2,4<x<+∞
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解答: 解】()y=sm+0x+,最小正周期T=x 03)1与y1+,具有相同的第故最小正周期=2 ③3)yian的期为xy=√a在其定义域内为周期函数,最小正周期为T=形 (4)y=smr2为非周期函数否则设存在常數T>0,满足sn(x+=smr,取z=0,sm=sim, 于是7=kx,(k∈N 取x=√+1)x,由周期性假没,则 sin((k+l)T+T'* sin(( k+I)X+/Er)'=sin( (+t)=0 sm(y(t+1)7+r)=si((+1)x+2y(+x+kt) 其中<Ⅺk+1)<(k+1),图此2√k(k+丁不可能为整数.故sim((k+1】x+)3≠0,矛盾产
12 解答：
【解】 1,当x为有理数时 D(r)= 0,当x为无理數时 单调性:D(x)不具有单调性 对于无理数x,有理数x,无论x,x:的大小关系始终成立D(x)<D(x2) 有界性:D(x)|≤1,x∈R 周期性:任意的有理数r都是D(x)的周期 因为 r+r=/有理数,当了为有理数 无理数,当x为无理数 于是D(r+n)=D(x)故D(x)没有最小正周期 注意:无理数不是D(r)的周期.对于无理数a,令x=-,则D(r+a)≠Dx) 奇偶性:D(-)=D(x),D(x)为偶函数
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【证】仅证max(x),8(x)=21()+g(x)+|/(x)-8(x)| 当f(x)≥g(x)时,maxf(x),g(x)}=f(x) 2()+g()+()-g(r)}=2(x)+kx)+f(x)-g(x)=fx) 当f(x)<g(x)时,maxf(x),g(x)}=g(x 2()+g(x)+f()-g(x)=2(x)+a(x)+8(x)-f(x)}=g(x) 同理可证后者 由此还可得等式 I f(r-g(x)I= max f, gl-minl,gl 【证】由/a+6(≤|4H+b,可推知 +a+6141+4+6+41
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例1.1-9作出下列函数图形 (n)y=sancos (2)y=[x]-22 l,2x-<x<2k丌+ 2 【解】(1)y=sgmx=0,x=kr+ 1,2kx+<x<2kx+3 图形见图1-1 0,2k≤x<2k+1 (2)y=[x] 1,跏k+1≤x<2(k+1) 图形见图1-2 图1-1 图1-2
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