第5章谓词逻辑的等值和推理演算 ●谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律, 普遍有效式是最重要的逻辑规律,而等值 式、推理式都是普遍有效的谓词公式,因 此等值和推理演算就成了谓词逻辑的基本 内容 ●这章的讨论,主要是以语义的观点进行的 非形式的描述,而严格的形式化的讨论见 第6章所建立的公理系统
第5章 谓词逻辑的等值和推理演算 ⚫谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律， 普遍有效式是最重要的逻辑规律，而等值 式、推理式都是普遍有效的谓词公式，因 此等值和推理演算就成了谓词逻辑的基本 内容． ⚫这章的讨论，主要是以语义的观点进行的 非形式的描述，而严格的形式化的讨论见 第6章所建立的公理系统．
5.1否定型等值式 ●等值:若给定了两个谓词公式A,B,说A 和B是等值的,如果在公式A,B的任一解 释(注意在谓词逻辑中,解释的范围还包含 论域以外的其他要素,见P65)下,A和B都 有相同的真值. ●其他说法:A,B等值当且仅当A→B是普遍 有效的公式(注意这里不再说重言式了).记 作A=B或AB
5．1 否定型等值式 ⚫等值：若给定了两个谓词公式A，B，说A 和B是等值的，如果在公式A，B的任一解 释(注意在谓词逻辑中，解释的范围还包含 论域以外的其他要素，见P65)下，A和B都 有相同的真值． ⚫其他说法：A，B等值当且仅当A↔B是普遍 有效的公式(注意这里不再说重言式了)．记 作A＝B或AB
5.1.1由命题公式移植来的等值式 ●若将命题公式的等值式,直接以谓词公式代入命题 变项便可得谓词等值式.由 --p=p,p >q=-pvq, (pnq)vr=(pvr)^(qvr) 可得(以下每两个为一对:无量词、有量词) p(x)=p(x) ()P(x)=(V)P(x) P(x)→Q(x)=P(x)vQ(x) ()p(x)→(3x)Q(x)=-(Vx)p(x)v(3x)Q(x) (P(x) Q(x)VR() =(P(x) VR(x)) ^((x) VR(x)) (()P(x)(y)v(3z)R() =(()p(x)v(3z)r(z)(Q(y)v(3z)r(z))
5．1．1 由命题公式移植来的等值式 ⚫ 若将命题公式的等值式，直接以谓词公式代入命题 变项便可得谓词等值式．由 ﹁﹁p＝p,p→q=﹁p∨q, (p∧q)∨r=(p∨r)∧(q∨r) 可得(以下每两个为一对：无量词、有量词) ﹁﹁P(x)＝P(x) ﹁﹁(x)P(x)＝(x)P(x) P(x)→Q(x)＝﹁P(x)∨Q(x) (x)P(x)→(x)Q(x)＝﹁ (x)P(x)∨(x)Q(x) (P(x)∧Q(x))∨R(x)=(P(x)∨R(x))∧(Q(x)∨R(x)) ((x)P(x)∧Q(y))∨(z)R(z) =((x)P(x)∨(z)R(z))∧(Q(y)∨(z)R(z))
5.1.2否定型等值式 (摩根律的推广) (V)P(x)=(3x)P(x) (3x)P(x)=(Vx)→P(x) ●形式上看这对公式,是说否定词”一”可越过量词 深入到量词的辖域内,但要把所越过的量词V转 换为3,3转换为V
5．1．2 否定型等值式 （摩根律的推广） ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) ⚫ 形式上看这对公式，是说否定词” ﹁ ”可越过量词 深入到量词的辖域内，但要把所越过的量词转 换为，转换为
(1)从语义上说明 (2)例:在{,2}域上分析 ()p(x)=-(p(1)p(2))=p(1)vP(2) =(3x)P(x) (3)P(x)=-(P(1)vP(2))=P(1)aP(2) =(Vx)P(x)
(1)从语义上说明 (2)例：在{l，2}域上分析 ﹁(x)P(x)=﹁(P(1)P(2))=﹁P(1)v﹁P(2) =(x) ﹁P(x) ﹁(x)P(x)=﹁(P(1)vP(2))=﹁P(1) ﹁P(2) =(x)﹁P(x)