自动下载此图 华罗庚与中国数学 王元 (中国科学院数学研究院)
华罗庚与中国数学 王 元 （中国科学院数学研究院）
自动下载此图片 华罗庚与中国的数论 中国近代数论是由杨武之开始的。他于1928年获得美国芝加哥大学博 士学位。师从狄克逊(L.E. Dickson)。他曾证明过,每个正整数都是九个形 (x-1)x(x+1) 的非负整数之和。这是最早的中国近代数论结果。 1929年,杨武之受聘来清华大学数学系执教。1931年华罗庚来清华大 学数学系任助理员,边工作边学习。系里与他同时的年轻人有陈省身、许宝 騄、柯召与吴大任。其中华罗庚与柯召对数论感兴趣,由杨武之指导他们。 1936年,华罗庚与柯召去英国,分别进入剑桥大学与曼彻斯特大学,师 从哈代(GH. Hardy)与莫德尔(LJ. Mordel)研究数论。1938年他们回
自动下载此图片 国,华罗庚应聘去西南联合大学执教。柯召以后一直在四川工作,执教于重 庆大学与四川大学。另外,闵嗣鹤于1935年毕业于北京师范大学,有突出 表现,杨武之介绍他去清华大学任助教,后又去西南联大执教,在华罗庚领 导下进行数论研究,他们有不少合作。以后,闵嗣鹤一直在清华大学与北京 大学执教。 早在华罗庚去英国前,他就开始在当时的主流数论,即哈代——李特伍 德(JE. Littlewood)一拉马努扬(S. Ramanujan)圆法与维诺格拉朵夫(I.M Vinogradov)指数和估计方法方面工作,这使他掌握了数论的制高点,所以 他的数论工作,无论就其广度与深度而言,无疑在中国都是最为突出的,他 的数论工作,在解析数论中有着持久的影响力。受到国际同行的尊敬。另外, 华罗庚广招学生,撰写入门书,所以在中国数论发展中树立起了中心的作用
自动下载此图片 现在,我们对华罗庚与他的学生的数论工作,简单介绍于下: 、三角和的估计 命q为一个正整数及f(x)为一个整系数多项式 f(x)=a4x2+…+ax, 此处(a4…,a1q)≥=1.考虑完整三角和 S(24(y)=e= 若f(x)=x2,则sx2)为熟知的高斯( C.F Gauss和,高斯证明了 S(q,(x)的估计是一个历史悠久的问题。在华罗庚之前,只有人研究过一些 特殊多项式对应的三角和。1940年,华罗庚用一个很优美的方法证明了
自动下载此图片 (1)-o2+) 此处ε为任意给予之正数及与O有关的常数仅依赖于k与ε。估计(1)是臻 于至善的,取q=P3,其中p为素数,且p=k,则p3,x)=()+,即(1) 之右端误差主阶是最佳的。 对于完整的三角和,华罗庚于1958年证明了,当(a,q)=1及b≠0时, (2) ax+b q 此处s>0及与O有关的常数依赖于s与k,这一结果对华林(G. Waring)问 题有重要应用。 华罗庚改进与简化了维诺格拉朵夫关于韦尔(H.Weyl)和的估计,我 们在此就不作定量解释了。华罗庚指出这个方法的核心为一个中值公式。在 往后的一些重要专著,例如瓦尔菲茨(A. Wallis),蒂奇马什(E.C. Titchmarsh)