求X的分布函数：(2)求PX≤，P)<X≤，P2≤X≤3) 2、设随机变量X的分布律为 x-101 P020.30.5 求y=2X2+1及Z=3X+1的分布律。 ∫kF0≤x≤1 3、设随机变量X的概率密度函数为/)=0其它 山港数：(2)求X的分有爵数F:(3)求PK>} 4、设随机变量X服从1-号的指数分布，名，的概率密度商数为=心为x>0 0x≤0 求：(1)EX,DX:(2油I)求c及EX2· 5,地R支X价度后数方a-0轮，用来标X的3次立宝业素 中华}现省次点，求v=2到 6、设X是[0,1]上的连续型随机变量，P(X≤0.29)=0.75，Y=1-X,试决定y, 使P(Y≤y)=0.25。 7、某电力排灌站，一天内停电的概率为0.】（设若停电，全天不能工作），若4天内全不 停电，可获得利润6万元，如果停电一次可获利3万元：如果有两次停电，则获利0万元： 若有三次或三次以上停电，要亏损1万元。求4天内期望利润是多少？ 8、随机变量X,Y都在区间[1,3]上服从均匀分布，且X确定的事件与由Y所确定的 事件是相互独立的，若A={X≤aB={Y>a。 (1)已知P4+)=求数a:(2)求的数学期里。 9、假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(4,),内径小于10 或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售不合格亏损。已知销 「-1X<10 售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有以下关系：T={2010≤X≤12，向：平 -5X>12 均内径“取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
求Ｘ的分布函数；（２）求 ) 2 1 P(X ， ) 2 5 2 1 P( X ， P(2 X 3) ２、设随机变量Ｘ的分布律为 求 2 1 3 1 2 y = X + 及Z = X + 的分布律。 ３、设随机变量Ｘ的概率密度函数为 = 0 其它 0 1 ( ) k x x f x (1)常数 k ；（２）求Ｘ的分布函数 F(x) ；（３）求 4 1 P X ４、设随机变量 2 1 X1服从 = 的指数分布， X2 的概率密度函数为 = − 0 0 0 ( ) 2 x cxe x f x x 求：（１） 1 1 2 EX ,DX ;(2)由(1)求c及EX . ５、设随机变量Ｘ的密度函数为 = 0 其它 3 0 1 ( ) 2 x x f x ，用Ｙ表示Ｘ的３次独立重复观察 中事件 2 1 X 出现的次数，求 P(Y = 2) ６、设Ｘ是［０，１］上的连续型随机变量， P(X 0.29) = 0.75,Y = 1− X ，试决定 y ， 使 P(Y y) = 0.25 。 ７、某电力排灌站，一天内停电的概率为 0.1 （设若停电，全天不能工作），若４天内全不 停电，可获得利润６万元，如果停电一次可获利３万元；如果有两次停电，则获利０万元； 若有三次或三次以上停电，要亏损１万元。求４天内期望利润是多少？ ８、随机变量Ｘ，Ｙ都在区间［１，３］上服从均匀分布，且Ｘ确定的事件与由Ｙ所确定的 事件是相互独立的，若 A = X a,B = Y a。 （１）已知 9 7 P(A + B) = ；求常数 a ；（２）求 X 1 的数学期望。 ９、假设由自动线加工的某种零件的内径Ｘ（毫米）服从正态分布 N(,1) ，内径小于１０ 或大于１２的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售不合格亏损。已知销 售利润Ｔ（单位：元）与销售零件的内径Ｘ有以下关系： − − = 5 12 20 10 12 1 10 X X X T ，问：平 均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ X －１ ０ 1 P ０.2 0.3 0.5
10、假设测量误差X~(0,10),试求在100次独立测量中，至少有3次测量误差的 绝对值大于19.6的概率Q,并利用泊松分布求出a的近似值。 四、证明 1、设常数a与b为随机变量X的一切可能取值中的最小值与最大值，EX,DX分别为X 2、已知随机变量X的数学期望EX与方差DX都存在，且DX≠0，随机变量 Y=X-EX/ Dr'证明：EY=0,Dr=0 3、设X的概奉密度f(x)满足f(c+x)=f(c-x),xe(-o,+o),其中c为常数，又 /(x)d收敛，证明：EX=c。 4、设随机变量X服从参数=2的指数分布。：证明：Y=1-e2在区间(0,1)上服 从均匀分布。 第三章 随机向量 基本要求 1.了解二维随机向量的联合分布与边缘分布的概念。 2.已知联合分布会求边缘分布，会判断随机变量的独立性， 3.了解协方差、相关系数等概念，掌握协方差、相关系数的求法。 4.掌握二维正态分布的密度函数，并知道几个参数的意义。 5。会叙述中心极限定理，并会用来解较简单的实际问题。 同步练习 一、填空 X1Y012 1、设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为00.250a 1b0.30.15 则a.b应满足的条件是」 2、设二维随机向最(X,)的联合概率凝率密度八x,)=0 c-1≤x≤1,0≤y≤2 则 其它 c= ,Y的边缘密度函数为f(y)=
１０、假设测量误差 X ~ (0,10 ) 2 N ，试求在１００次独立测量中，至少有３次测量误差的 绝对值大于 19.6 的概率 ，并利用泊松分布求出 的近似值。 四、证明 １、设常数 a与b 为随机变量Ｘ的一切可能取值中的最小值与最大值，ＥＸ，ＤX 分别为Ｘ 的数学期望与方差。证明：（１） 2 2 ;(2) − b a a EX b DX 。 ２、已知随机变量Ｘ的数学期望ＥＸ与方差ＤＸ都存在，且 DX 0 ，随机变量 DX Y = X − EX ，证明： EY = 0, DY = 0 ３、设Ｘ的概率密度 f (x) 满足 f (c + x) = f (c − x), x (−,+) ，其中 c 为常数，又 x f (x)dx + − 收敛，证明： EX = c 。 ４、设随机变量Ｘ服从参数 = 2 的指数分布。；证明： x Y e 2 1 − = − 在区间（０，１）上服 从均匀分布。 第三章 随机向量 基本要求 1. 了解二维随机向量的联合分布与边缘分布的概念。 2. 已知联合分布会求边缘分布，会判断随机变量的独立性。 3. 了解协方差、相关系数等概念，掌握协方差、相关系数的求法。 4. 掌握二维正态分布的密度函数，并知道几个参数的意义。 5. 会叙述中心极限定理，并会用来解较简单的实际问题。 同步练习 一、填空 1、设二维离散型随机变量（X，Y）的分布列为 1 0.3 0.15 0 0.25 0 \ 0 1 2 b a X Y 则 a.b 应满足的条件是 。 2、设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率概率密度 − = 0 其它 1 1,0 2 ( , ) c x y f x y ，则 c = ，Y 的边缘密度函数为 f Y (y) =
3、设(X,Y)-N(4,山2，o2,o22,P),则随机变量X的边缘密度函数为∫x(x)= cov (X,Y)= 4、(X,Y)是二维随机向量，且DX)=25，DY)-36,Pm=0.6，则 D(X-2Y)=_ 5、X、Y是两个相互独立的随机变量，且方差均存在，则D(3X-2Y)=_一。 X1Y|01 6、设二维随机变量(X,)的概率分布为00.4a，若随机事件{X=0}与 1b0.1 {X+Y=}相互独立，则a= ,b= 7、设随机变量X、Y相互独立，且分别服从于参数为乙和乙，的泊松分布，则X、Y的联 合分布律为PX=m,Y=n}= 8、已知随机变量X-N(-1,),Y~N(3,),且X、Y相互独立，Z=X-2Y, 则Z、 9、设X,X2,X独立同分布，E(X,)=,D(X)=2,i=12,.,n,当n230时 随机变量X=∑X,近似服从分布 一，标准化后的随机变量 近似服从 N(0,1)分布。 10、设(X,)服从区间0，a]x[0,a上的均匀分布，则EX-Y=_ 二、单项选择 1、若X、Y满足D(X-)=DX+),则必有() A、X、Y相互独立B、DX-)=DX+Y)=0C、X、Y不相关D、D(X)=0 2、二维随机变量(X,Y满足E(XT)=EX.EY,则() A、DX)=DX.DY B、D(X-Y)=DX+Y)C、X与Y独立D、X与Y不独立 3、已知随机变量X、Y,则()是正确的。 A、DXY)=DX.DY B、DX+)=DX)+D)
3、设 (X,Y) ~ ( , , , , ) 2 2 2 N 1 2 1 ，则随机变量 X 的边缘密度函数为 f X (x) = ， Y~ ， cov (X,Y) = 。 4 、 (X,Y) 是二维随机向量，且 D(X ) = 25 ， D(Y) = 36 ， XY = 0.6 ， 则 D(X − 2Y) = 。 5、 X 、Y 是两个相互独立的随机变量，且方差均存在，则 D(3X − 2Y ) = 。 6、设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为 1 0.1 0 0.4 \ 0 1 b a X Y ，若随机事件 X = 0 与 X +Y =1 相互独立，则 a = ，b = 。 7、设随机变量 X 、Y 相互独立，且分别服从于参数为 1 和 2 的泊松分布，则 X 、Y 的联 合分布律为 PX = m,Y = n= 。 8、已知随机变量 X ~ N(−1,1)，Y ~ N(3,1) ，且 X 、Y 相互独立， Z = X − 2Y ， 则 Z ~ 。 9、设 X X Xn , , , 1 2 独立同分布， E(Xi ) = ， 2 D(Xi ) = ，i = 1,2, ,n ，当 n 30 时， 随机变量 = = n i X Xi 1 近似服从分布 ，标准化后的随机变量 近似服从 N(0,1) 分布。 10、设 (X,Y) 服从区间 0,a0,a 上的均匀分布，则 E X −Y = 。 二、单项选择 1、若 X 、Y 满足 D(X −Y) = D(X +Y) ，则必有（ ） A、X 、Y 相互独立 B、D(X −Y) = D(X +Y) =0 C、X 、Y 不相关 D、D(X ) = 0 2、二维随机变量 (X,Y) 满足 E(XY) = EX.EY ，则（ ） A、 D(XY) = DX.DY B、 D(X −Y) = D(X + Y) C、 X 与 Y 独立 D、 X 与 Y 不独立 3、已知随机变量 X 、Y ，则（ ）是正确的。 A、 D(XY) = DX.DY B、 D(X + Y) = D(X ) + D(Y)
C、E(Y=EX.EY D、E(X+Y)=E(X)+EY) 4、设X、Y是两个随机变量，则下列命题正确的是() A、X、Y不相关→X、Y不相互独立B、X、Y相互独立一X、Y不相关 C、X、y不相关一X、y相互独立D、X、y相关一X、y相互独立 5,设随机变量X、y独立同分布，PX=-小=化=-以=PK=-=亿=小=号 则下列式子正确的是() AX=yB、PK=Yy=0C、PK=y}D、PK=yy=1 6、设F(x)与E(x)分别为随机变量X和Y的分布函数，为使aF(x)-bE(x)是某一随 机变量的分布函数，则a,b的值应取(） 2 7、将一枚硬币重复掷次，以X和Y表示正面朝上和反面朝上的次数，则X,Y的相关系 数等于() 处a-1c0 8、设随机变量X服从参数为入的指数分布，且已知E[X-1(x+2】=-1,则DX A、2 B、-1C、2D、3 9、随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X~N(1,1),Y~N(2,4),X和Y 的相关系数为Pn=-0.5,且概率PaX+bY≤=2则（） A、a=b=-4 1a的为-气任名动小0-2，同=1， P{X=X2}=( A、0B、c D、1 三、计算
C、 E(XY) = EX.EY D、 E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) 4、设 X 、Y 是两个随机变量，则下列命题正确的是（ ） A、 X 、Y 不相关 X 、Y 不相互独立 B、 X 、Y 相互独立 X 、Y 不相关 C、 X 、Y 不相关 X 、Y 相互独立 D、 X 、Y 相关 X 、Y 相互独立 5、设随机变量 X 、Y 独立同分布， 2 1 P X = −1 = Y = −1 = ， 2 1 P X = 1 = Y = 1 = ， 则下列式子正确的是（ ） A、 X = Y B、 PX = Y= 0 C、 2 1 P X = Y = D、 PX = Y=1 6、设 ( ) 1 F x 与 ( ) 2 F x 分别为随机变量 X 和 Y 的分布函数，为使 a ( ) 1 F x ( ) 2 −bF x 是某一随 机变量的分布函数，则 a,b 的值应取（ ） A、 5 2 , 5 3 a = b = − B、 3 2 , 3 2 a = b = C、 2 3 , 2 1 a = − b = D、 2 3 , 2 1 a = b = − 7、将一枚硬币重复掷 n 次，以 X Y 和 表示正面朝上和反面朝上的次数，则 X Y, 的相关系 数等于（ ） A、1 B、－１ C、0 D、 1 2 8、设随机变量Ｘ服从参数为 的指数分布，且已知 E X x ( 1)( 2) 1 − + = − ，则 DX ＝ （ ） Ａ、 1 2 Ｂ、－１ Ｃ、２ Ｄ、３ ９、随机变量 (X ,Y ) 服从二维正态分布，其边缘分布为 X ~N(1,1) ，Y ~ N(2,4) ，X Y 和 的相关系数为 0.5 XY = − ，且概率 1 1 2 P aX bY + = ，则（ ） Ａ、 1 1 , 2 4 a b = = − Ｂ、 1 1 , 4 2 a b = = − Ｃ、 1 1 , 4 2 a b = − = Ｄ、 1 1 , 2 4 a b = = １０、设随机变量的分布为 1 1 1 4 2 4 1 0 1 Xi ~ − ( 1,2) i = ，且满足 P X X 1 2 = = 0 1 ，则 P X X 1 2 = ＝（ ） Ａ、０ Ｂ、 1 4 Ｃ、 1 2 Ｄ、１ 三、计算