《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十二章 曲面积分 第三节 高斯公式与斯托克斯公式

(R(x, y,(z,(x, y) - R(x, y,zi(x,y)dxdyD(xy)R(x, y,(z2(x, y)dxdyD(xy)- JJ R(x, y,(z,(x, y)dxdyD(xy)= [[ R(x, y,z)dxdy --(R(x, y,z)dxdyS2S1[[ R(x, y,z)dxdy + [] R(x, y,z)dxdy ,S2St其中 S,S,都取上侧.又由于 S,在xy平面上投影面

( ) 2 ( , ,( ( , ))d d D xy = R x y z x y x y  = −   2 1 ( , , )d d ( , , )d d S S R x y z x y R x y z x y 1 2 S S, 其中 都取上侧. 又由于 S xy 3 在 平面上投影面 2 1 ( , , )d d ( , , )d d , S S R x y z x y R x y z x y − = +   ( ) 2 1 ( ( , ,( ( , )) ( , , ( , )))d d D xy = − R x y z x y R x y z x y x y  ( ) 1 ( , ,( ( , ))d d D xy − R x y z x y x y 

R(x, y,z)dxdy = 0 .积为零，所以S3从而得到aRSRdxdy +(Rdxdy + ( Rdxdydxdydz =OzS2S3Sr- $f Rdxdy.s对于不是v型区域的情形，一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论

从而得到 2 3 1 d d d d d d d d d V S S S R x y z R x y R x y R x y z −  = + +      对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 =  3 ( , , )d d 0 . S 积为零, 所以 R x y z x y 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论. d d . S = R x y 

例1计算I = $p y(x -z)dydz + x'dzdx +(y* + zx)dxdy ,s其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧解应用高斯公式81= J%((x-2) dxdydz+xz)ayOz Jf (y + x)dxdydz=J, dz J, dy ], (y+x)dxaf.(y+ dy=a

例1 计算 2 2 ( )d d d d ( )d d , S I y x z y z x z x y zx x y = − + + +  其中 S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧. ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) d d d V I y x z x y xz x y z x y z      = − + + +         解 应用高斯公式, 2 4 0 1 d . 2 a a ay a y a   = + =      0 0 0 ( )d d d = d d ( + )d a a a V = +y x x y z z y y x x    

注若在高斯公式中 P=x,Q=y,R=z,则有f xdydz + ydzdx + zdxdy = [f (1+1+1)dxdydz.S于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体I $+ xdydz + ydzdx + zdxdy .积的公式：△V=，SSi[I y(x - z)dydz + x'dzdx + (y2 + xz)dxdy,例2 计算s其中 S为曲面 z=5-x2-2上 z≥1 的部分,并取上侧

注 若在高斯公式中 P x Q y R z = = = , , , 则有 d d d d d d (1 1 1)d d d . S V x y z y z x z x y x y z + + = + +   于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体 积的公式: 1 1 d d d d d d . 3 S V x y z y z x z x y = + +  例2 计算 2 2 ( )d d d d ( )d d , S  y x z y z x z x y xz x y − + + + S 2 2 其中 为曲面 z x y = − − 5 上 z  1 的部分, 并取 上侧

解由于曲面不是封闭的，不能直接应用高斯公式为了能使用高斯公式以方便计算，可补充一块平面S,:x2+y2≤4,z=1,并取下侧,则 SU S, 构成一封闭曲面.于是f y(x -z)dydz + x'dzdx +(y + xz)dxdySUSI/ / (x + y)dxdydzL5-r42元dedr(r cos + rsin )rdz = 0S

解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面 2 2 1 S x y z : 4, 1, +  = 并取下侧 S S  1 , 则 构成一封 闭曲面.于是 1 2 2 ( )d d d d ( )d d S S y x z y z x z x y xz x y  − + + +  ( )d d d V = + x y x y z  2 2 2 5 0 0 1 d d ( cos sin ) d 0. r r r r r z     − = + =   