31效十8一勇+元，但因十元等于一匹，这是由于弧不因增加2元而有所改变，所以，我们得到+8-一（8+元）-（8+）。这样一来，两点之和也是弧（回量），一般说来，它不等于四分之一圆，因此，和（差也一样）一般说来不等于点。当置换被加数时，和改变符号。只有一种情况，各点之和与差给出一个点。假定是球面上这样三个点，即：弧，和分别是与正极点和相对应的四分之一圆（图1.11）。在这种情况下，有十—+元=1但是，根据定义，g一一一3，所以，一。从所得关系式可以得出结论：只有在两点间的交角等了元/2时，两点之和或差才能重新决定一个点。循环改变，、和。的位置，则得+=3,+9-,+9-(1.25)因为对反对称点来说，四分之一-圆要政变方向，所以我们有+i-,s+i,i+1=P2。(1.26)在这些公式中，同样可以看到点和回量的双重涵义：除了直接的几何形象之外，点（回量）也可理解为旋转算子。例如，第一项被Liei1.11图图1.12
32加数是将第一项被加数变换成下述结果的算子：使点更旋荣转四分之一圆，之后更便同重合，等等。现在可以证明旋转定理。假定衣球面大圆上给出分成等孤的五个点：学；&：场，9优（图1.12）。假定有两个重合的球面：一个活动的和一个固定的。我们使活动球而绕轴4旋转一角度，此时，点男同点学重合。继而，使活动球面绕轴诱旋转一角度，此时，点改同点重合，而点还（即）同点重合。在这一最终状态下，结果弧以留沿大圆弧移到位置孕光，即移动一个孤，一24够。第一次旋转为=倍四分之一圆，即旋转2.，而第一次相应地旋转2第，山此可见，旋转之和2:房+2&同旋转一个孤24%是等价的，即28+24-248（后者从式（1，24）也可得出，因为旋转一角度2元便回到原始位置)。同样可以证明，26+209-288因此，依次究成两次这样的旋转，便得到2+28+28+24-286+2月显然，旋转28+2%便回到原始状态；此外，2%+2效-2，于是(1.27)206286+28就是说，球面依次绕其正极点旋转两倍弧2.%和两倍弧286，同球面绕球面三角形吸的第三个孤旋转总是等价的，亦即同绕孤4的正极点作两倍弧2公的旋转总是等价的。因此，如果在忘个回量元、。，之间存在差这样一种关系，即元十0一，那么，对于旋转来说，总存在若2元+2g=2元这样的条件。基于这种等价性与球面原始状态无关的观点，可以
33得出旋转加法的可结介性。以上得到的结果足以使我们转入研究空间失量的运算。我们将矢径同各点连系起来，必须使失量运算对应于所求出的回量和点的加法运算。因为回量加法是不可交换的，所以，只有久量乘法运算可同它对应，基于这一理由，我们将球Gr面加法称为乘法，而将减法称为除法。G我们用at、b1C表示单位球面上点&、%、6的尖量。可以证明，在我们引用的有关尖量运算的定义的情况下，给出点运算的所有基本原理都是成立的。所请:图1.13两矢最之商b/ai=b1a将被理解为点留一&之差，即回量。显面易见，球面三角形的关系(1.23)此时依然不变：等式ayac 1octob--aob, 1对应于关系（一）十（℃一%）二6十%富一，就是说，两商之积给出同一类型的商。因为回量机，一对应于一个点，例如点(图1.13),所以，每一失量ci都有-个商nom1与之对应，即ci一nm1显然，与矢量ci相反的欠量ci，即Ci-C1对应丁反对称点。另一方面，因为点对应于回量NM一一，所以，c一mon-1，由此可得，Cici1，这个结果是必然的，因为对于回量来说富十-0。所得关系表明，同矢量c1相反的久量ci满足条件ci=ci，因为只有在这种情况下，Cci1但另方面，—C，由此得出，Ci~（一C1）一1和c1oC1=一1，就是说，任何单位矢量的平方都等于一工。对于通过点1、、的三个正交单位失量证话（见图1.11)来说，这些原则使之能够根据（1.25）和(1.26)得到如下关系：
84igoig--1,社--1,-—1,iiiin,(1.28)ioig-is,ioig一i,一语一一ioi---,oi-i-il,式中，记是方向相反的量。所得单位矢量的乘法规则可推广到空问中任意尖量的乘法。为此，我们将任意矢量表成下列形式：a-aa式中，1是单位矢量；而α是数（标量），我们称之为尖量的张量。下面我们研究两矢量α=αa和6一Bb之商，我们用A表示它：A-吴-aob-1-%ab1t.(1.29)6B所得商的第一个因子a/β称为张量，而第一个因子α1bi1称为回量。商A决定于久量长之比、矢量问的交角以及平面位置，而平而位置又决定于两个参数，所以，确定总共需要四个参数。因此，称A为四元数。（1.28）中的正交单位矢量记、记、因而也就是四元数。这些四元数乘法规则揭示出四元数所固有的双重涵义：一方面，它们是某些几何图像，而另一方面，又是算子。例如，在乘积中，可将第一个因子看作是作用于矢量并使之化为矢量的算子。因为四元数（1，29）被定义为商，所以，如果矢量a和6之间的交角等于矢基c和d之间的交角，比例a/b和c/d相等，此外，矢量偶a、b和c，d所构成的平面又重合（图1.14)，它们之比aob-1-cod-1则构成同样的四元数。因此，四元数决定于量、b构成的平而-ar181bao图1.14图1.15
35以及欠量之间的交角。我们注意到，点（欠量）对应于回量元，2，所以，两个相互垂直的线段之商就是失量。另一方面，如果矢量和共线，则它们的商就是简单的实数。F我们来研究久量a和6之间有任意交角的情况（图1.15）。量a可分解为和式a一十a在这种情况下，A-(ao+an)b-1ao~b-1+a,b-1将表示为等于模数比ao！的实数与矢蛋之和。由此可见，每个四元数可以唯一地分成标量和矢量两部分。不难看出，标量部分(1.29)等于 -scn066B同理，矢量部分的模等于%sing。B其次，如按正交单位轴1将四元数矢量加以分解，则将得到以本章开头讲到的超复数来表示四元数的那种形式