第二章刚体的有限转动理论本章中将研究正交变换，这种变换是描述刚体旋转运动的数学形式[16,44,60]。刚体的任意有限运动都可分解为间某·任选点有关的平移和相对于该点的旋转。根据这一点，在描述刚体运动的六个独立坐标中，三个坐标给定刚体某一固定点在空间的移动，三个坐标描述刚体的旋转。我们感兴趣的将仅仅是刚体对于固定点的旋转。这个问题是力学的主要问题，当考虑到刚体的有限维数时，研究刚体的任何运动都必须解决这个问题。在许多实际情况下，旋转运动同刚体的半移无关，例如，固定点是质量中心时，刚体在任意力场中都处于门出运动状态。在解决不能用点表示的刚体的任何动力学或运动学问题时，都必须合理描述旋转运动的运动学。此时，同刚体运动的个旋转自由度对应的运动学参数的选择，起若极其重要的作用。已经知道许多用来描述刚体运动的各种运动学参数：方向余弦，欧拉一克雷洛夫角、凯里-克莱茵参数、罗得里格-哈密顿参数10,31.4)。作为四元数分量的罗得里格-哈密顿参数是最方便的参数之一。与欧拉角不同，这些参数不管刚体处于任何位置都不退化（就是说，无论参数本身或其变化速度都不会变为无穷）。罗得里格-哈密顿参数的数日等于四，就是说，与方向余弦有六个连系方程的情况不间，它有一个连系方程。另一方面，这些参数是表示借助于平面旋转给定刚体位置的最自然的方法。刚体的有限旋转（即具有阔定点的刚体的运动）有这样的特点：它使一个轴在空间永远保持不动。这一事实为已知的欧拉定理所确定。根据这一定理，刚体的任何旋转运动都等价于绕某一轴的平面旋转并可山绕该轴的有限转动给定，或者山有限转动矢
37量给定，这个转动失量指呵欧拉旋转轴，其长度决定于旋转角。平面旋转具有同的角度，它与旋转中心无关，此时，旋转轴门然相互平行。就这一点来说，有限转动矢量是刚体任意移动的不变。尤其是，任意移动可分解为沿转动矢量轴利旋转乎面上的两种平移以及旋转本身。通过平面旋转轴（或中心）的选择可将旋转平而上的平移转化为零（即，使其同旋转合而为一；此时，旋转轴变成所谓的旋转中心）。在这种情况下，刚体的任意移动都转化为螺旋运动19。罗得用格一哈密顿参数，也象凯里-克莱茵参数一样，决定于有限转动失量。应用这种运动学参数，自然而然地要使用四元数，四元数提供一种丁具，这种工具使我们能够以最方便的形式确立间描述和研究刚体运动布关的一切运算。在这一一章里研究正交变换，根据欧拉定理，它们是行限转动。确立正交变换运算和四元数乘法运算问的同构对应。应开四元效使我们能够更全面地研究有限转动理论。尤其是，有限转动理论的一切已知结果[31都是以四元数乘法运算的形式得到的。应用四元数使我们能够获得许多新结果：罗得里格-哈密顿参数的变换（转动）加法定理，有限转动可易性定理的推广，等等。另一方面，所得到的同正交变换对应的四元数运算形式是十分一般的形式，而且在摧述任何参数的类似运算时都可使用它。下面对罗得里格一哈密顿参数同其它运动参数的关系所进行的研究，十分明确地说明了这一事实。这一章中利用的方法，使我们能够以方便的形式表示同正交变换有关的一切运算。$2.1正交变换刚体的旋转运动可用各种不同的方法描述。刚体定向决定于同刚体固连的正交（笛卡尔）坐标系定向的这样一一种方法，是最迹用的方法之一
38我们将认为，具有单位欠员e1、e2、es的直角坐标系E同刚体是刚性固连的。研究刚体相对于以单位失，、为轴的直角坐标系1的运动。我们将分别称坐标系E和I为固连基和定基。还将认为，两基的原点位于刚体绕其运动的同一个点上。坐标系I中基E的任一轴ex的位置决定于该轴同轴，（，-1，2，3)构成的三个方向余弦：ai-eril,na-en-a, aa-eris九个方向余弦系究全可以确定固连基E相对于原始坐标系I的定向，将这些余弦排列成维数为3×3的矩阵：Ja11a1aa13A--iler-i,l,(2.1)a21auQ23as13aa33这种矩阵称为方向余弦阵。固连基E的任一单位失都可通过基I的单位矢由关系式。表示：ex=(ex-i)i+(en-i)i+(er.ig)ig-Ean。(2.2)此关系式是给定刚体运动的方法之一，即一坐标系变为另一坐标系的变换。现在我们研究：如果坐标系I中某一不变矢量的分量已知，方向余弦怎样使我们能够表示出坐标系E中这一失量的分量。假定为不变失量，而和%分别是不变久量在基1和E上的投影。显然，r-riii+ri+rsis-riei+rea+rgeso由此不难得出，r-r.ex-riii.ex+rsis-eu+rsis-ex,即(2.3)axyryo行1为侧下参考，我们指出：关系式（2.1)中诸是最在基1上的协变分量；失量e在从哟单位炎上的展开式出e在基I上的逆变分量给定。对于正交坐标系E和I，协变利逆变分量相等(2A,因此，公式(2.2)是可能的
39显而易见，变换（2.3）能确定坐标系的变换。当描述恒等于式(2.2)的关系式(2.3)给定的不变尖量的分量变换时，这就是给出基变换的另一个方法。关系式（2.3）是由矩阵a确定的线性变换方程。由于这利变换是描述刚体运动的，所以，矩阵（2.1）是正交变换阵，诸元6，满足熟知的正交条件：【当k时】Zanjax --(2.4)aa-oo当k时司正交条件是刚体一种性质的反映，即：其任意点之间距离保持不变。量的长度不变意味着应该满足等式-()-()(2dxrrayakrgrx(2.5)-1由此也可得出前面的关系式（2.4）。我们研究变基E为基1的逆变换，它将由矩阵A的逆矩阵A-1-[a,ll来确定。类似于关系式(2.2)和(2.4)，逆变换可写成基E和I的单位矢之间相互关系的等式，或者不变矢量在这些基上的投影之间的关系式：akyes(2.6)2anrkoT-A重温绪论（2.5），可以得出，逆阵诸元也应满足于正交条件：2 diydhne0 no(2.7)台另一方面，研究矢量的下列表达式2r-2re,-(2at)r-仓我们改变所得之和的求和顺序，此时，将首先根据第二个下标，而
40后根据第-+个下标求和n即首先进行矩阵A的转罩，其次得到aiwt'yo(2.8)中n=一台将所得关系式（2.8)同等式（2.6)加以比较，可以看出，(2.9)a=akj,即逆阵的元素等于转置阵的元素。显然，这时等式（2.7)就成为另一种形式的正交条件（2.4）。此外，条件（2.9)本身就是完全等价」条件（2.4)的正交条件。用a|一AT表示转置阵，而用1a%l-A-1表示逆阵，便可将条件（2.9)写成A-1AT。(2.10)若考虑到规范化正交感满足等式i-in-O,e,ef=ou(2.11)则从关系式（2.2)和(2.6)也可直接得出正交条件。将单位矢量的表达式(2.2)或(2.6)代入这些等式，便直接得出条件(2.4)，显然，这些等式是正交条件的反映。为了便于给定变换，我们使用矩阵符号。我们引入由单位失量；和e纽成的阵列，我们用表示基的符号来表示这些阵列，即ierlI-iaE-(2.12)eai3e3利用矩阵乘法运算，可将变换（2.2)写成这种形式：E-AI.I-A-1E-ATE.(2.13)我们还引入在某一基中失量T的分量，即由T和，组成的阵列:原1下标号混为：它4因此(2.8)，(2.9)中格应地应该为：ar口和a;hi=AT才是A-a的转置矩—校者算出等于柜应代数余子式的逆阵元，就可真接验证这一点。此时，有或无等式(2.4)，等式(2.9)都可得到满足