26A-1-^)时，运算(1.14)和(1.18)写成如下形式。：荣R'-A.R.A,r'-Aors(1.20)号+sin号为规范化四元数形式A。（）A可假定A=CO8212以看成是山四元数A给出的旋转算子；所谓由A确定的旋转变换，我们理解正是这个算子；我们还可这样说，当把（1.20）理解为这个算子时，四元数入将给出角度为8的旋转。算子A（）A确定角度为8的旋转；我们米研究四元数(一A),因为(A)--A,所以,旋转A()A和(-A)( )(-A)给出同一结果。四元数号)+(-)sin (-A- cOs(元-2给出以角度2元一8绕轴一的旋转，即反向的旋转；由此可以更清楚地看出，这种旋转的结果与以角度9绕轴旋转的结果完全相同。因为旋转AA（）。AA-I（）1,所以旋转A）A给出角度为的反问旋转。其实这是显而易见的，因为92-ing-号)+sin(-号)XCOScos2121假定规范化四元数A给出以角度8绕轴入的旋转，而规范化四元数M给出以角度绕轴的旋转。旋转顺序A和M相应子算子。M.A.( ).A.M-(MA).( )(M.A)。(1.21)因为M。人也是规范化四元数，比方说，贵+vsinM.Amcos22所以，两次顺序旋转的结果同以角度中绕轴的一次旋转是等价的；合成旋转的轴和角可以根据由乘法规则(1.5)得到的合成四元当A不是单位四元数时，变换(1.20)便给出通用的空间变换形式：旋转和伸缩（后者之值取，#汀12）出此，称4为空间张量，^/A为回量；但现在不用这些名称，因为张盈的概念包括更广泛的涵义。以后我们将值4你为四元数的模数
27数分量求山。可见，旋转A以及随之进行的旋转M间--次旋转M人是等价的。在更一般的情况下，顺序旋转A，A，，A，和—次旋转AnA,-1..A2A是等价的。我们来研究某些特例。如果4一入，即=90°，那么，使e绕轴入沿锥面旋转180°便得到矢量e'-2oe.x--e.n.可见，变换一（）可给出相21对于轴入原始尖量对称的矢量（图1.8）。变换入（）入可给出LoA0同矢量一2（）入相反的尖量，就是说，可以看成是矢量相对于垂直入的平面的镜反射。由失量入和决定的顺序镜反射［即顺序旋转入（）入和Moe（）等价于给出旋转的一个图1.8算子μoxo( )0oμ-uoao( )o(μo2)-1但因μo-一×μ，所以uoa-cosg-bsing=(cospbginp),式中，甲是矢量入和严之间的交角。由此可见，相对于两个乎面的两次顺序镜反射同绕该两平面交线，以两平面间交角的两倍角旋转的结果是等价的。单位四元数可用单位球面的大圆弧表示，该球的极点是四元数的矢量，回忆这一情况便可看出，旋转运算可给出绕该极点两倍角（即两倍孤）的转动。现在我们研究球面多边形：假定其先后（循环）绕过的各边表示四元数A1，A，，Am根据81.2的结，我们有AnoA.-10..A1-l
28由于(AA.-1...A)-1,所以,算子A,-Ar-jo...0A1o( )oA,cA2o...SA,-1o( )-1)就是说，AI，Aa，，A，这样的顺序旋转给出原始状态，由此可以得山哈密懒-敦教金定理如果。/84为某一球而三角形，那么，取决下抓2，284和2（即机对于其极轴）的三个顺序旋转，则便物体回到原始状态。多1.4球面几何得出超复数单位的乘法规则是十分然的，因为虚数单位的乎方等于一1，而乘积让只能假定等于其它的乘法规则是山乘法的结个律得到的。这些规则决定的量具有双重涵义：一方而，这是某些几何形象（四维空间中的矢量）；另一方面，这是三维空间中的变换算子。为了说明四元数的这些性质，我们在这里研究一下球面几何的若干问题，这些问题在历史上促进了四元数的发现。球面儿何在许多方面都象平面儿何。例如，若和表示球面上的两个点，则可以象在平面上一样，把量&%一另一作为点&和8之间的距离，也就是，连接点到点8的大圆孤。两点差的概念，象连接它们的孤的概念一一样，也包括和的概念在内；显然，(8-Q)+-由此可得8+-8(1.22)实际上，我们用乘法由该等式得到：io(iog)micig-(ioi)oig=-i2,(iioia)oin-igoig-ino(igsi)-il将这两个等式相乘：(ijpig)o(igoia)igii-ijo(igi)oig--iicig--g,()e(f-)--g-(i2)--e等等。可以整汇，复数前位的个部不法时部几战的。原5误为·-校者
29后一运算的涵义可这样解释：弧明把点转移到点这里已经出现弧形成的新概念，即穿子概G念，因此，弧也称之为回量。引用的定义将给定方向：从点双到点勇说成是弧以免。所谓弧8则应理解为从点8到点的大图1.9圆弧，即反向弧：因为粥效一54一和+%-+--0，所以，4。两点差的这一定义足以给出球面上孤的相加和相减。我们来研究方程（-6）十（8）一（4一8），根据定义它可写成6十二:8(1.23)即球面二角形两边之和等于其第三边（图1.9）。当两弧位于一个大圆上，而其长度和方向又相同时，也只有这时，我们才能将这两个弧看成是相等的。相等的弧沿其所在大圆移动是可以重合的。注意到，根据这个定义，86一69和℃=（见图1.9)，将等式（123中的被加数调换-下位置，便得到6+6-6+-即得到一个不等于孤的新孤。由此可见，球面上的各弧相加是不可交换的。只有各弧位于一个大圆弧上时，弧的相加才是可交换的：这时，相加归结为简单的算术相加。改变一被加数的符号，便可由相加得到孤的相减。例如，我们来研究差Q一8（见图1.9）因为86一88，所以8-88+686+86-我们使每个弧&8同其极点如此对应：当从极点观察时，从点&到点%的旋转按反时针进行。这样就把从到的两条路径区分开来（角度为和2一9），因为每一路径都同自已的极点相对应。?显而易见，在大圆上有两个从点到点的卵，现在我们不去区分它
30在球面儿何中存在有两类图像，这就是人圆孤及其极点，所有的定理对它们都是正确的。极点同它的r赤道孤相对应，就是说，点同弧对应得这样吻合，以致必须按已知涵义去建立它们的等式。实际上，以前已将弧定义为两点之差，但是，点的加法运算本身还没有定图1.10义。为了不超由点的“可加性”得出弧孤这一原理的范围，必须作出新的规定。我们假定点和弧彼此之间是一一对应的，就是说，我们使每一点，作为极点，等于长度为元/2（四分之一圆）的赤道正孤。我们将证明，所建立的规定使前面讨论过的规则仍然有效。实际上，一一4吸9和以=6，就是说，点等于它的四分之一圆-回量（Bepeop-EBapaT）（图1.10)。我们有-B9-5+-0但实际上一4%，因为它们位于同一个大圆上，而且弧密の和之长等于元/2。其次，等式（第一）十4一B也是正确的，因为4第-69和-66由此可见(9-)+-8+-9+66-69-球面上任何一点都有其反对称点α与之对应，面与反对称点&对应的是反向回量，即Q+0和&-;不难看出，这些等式对于这些点的四分之一圆弧也是正确的。由这一点出发，可将两点之和变成两点之差，从而求出这个和。比方说，我们研究两点之和9+-8--09-(9+)g+元，(1.24)式中以元表示等于大圆之半的弧。调换和的位置，我们有