21A-a.6-1.-6cc1N-c.dIA.M.N-ad-1因此，每个大圆孤都排，一个四元数给寇的若干个大弧的欠是和，给山一个由这些四元数杆反顺序的乘积所决定的大函孤。从等于一的四元数相当丁球而上的一点这样的条件可以得出如下结论：对于闭合球而三角形来说，有arcN+areM+areA--o,即arcA.M.N-0 和 A.M.N-l。在般情说下，当A,0A.-10....A,-1时，也只能在这时，表示循环排列的四元数A1，A2，，A，的构成闭合多边形。前面所介绍的以球面上的弧表示四元数的方法，在许多场合下都是极arciyarca其有益的。A"我们以球面三角形三角公式的推.arcM导作为例子。假定对三角形（图1.6）图1.5给出：arcA+aroM-arcN-arcMAAaob-1=cosa+asina,Mcoa-1-cos β+μ sin β,(1.13)Ncob-1-cos+vsin,式中，α、β、分别为叫元数AM和N的抓长。因为N-.A，即cob-1(coa-1)。(a-b-1),所以,(cos β+μ sin β)o(cos a+^ sin a) -αs+v sin 。我们发现：μox-μ.+μxa--.μαxμ=rosM-asind式中（元一双）是久量和入之问的交角，就是说，二角形的顶角a等于&(见图1.6)
22M1.6图进行乘法运算（1.13)并使标量部分相等，便立即得出已知的余弦公式cosycosβcosa+sinBsinacos.Q使乘积的失量部分相等，则得：μsin Bcosa+asinacosβ-asin. sinβsina=vsin.将所得等式同a进行内积相乘，由于a·u一a·A=O和a·a一1，我们得到sin sinpsina--a-vsin y--a.(bxc),因为sin-bxc。可见，sin&-a.(bxc)sinsinasinBsiny当矢量和角循环置换时，等式右边的乘积不变，因而我们得到已知的正弦定理sine&lsin g8sincesinβsinsina由M一-NA可类似地得出：余弦公式aing-b.(cxa)coacoacoea+inBinacon和BinβBinasinBain再由A-一M·N类似地推得：余弦公式singc.(axb)coscocoinsncs和sinasinaginpsiny又因为：a.(bxc)=b.<exa)=c-(axb),故下列正弦公式成立。这里得到的正弦公式和三个余弦公式与球面三角形中相应的公式是一致的。一一校者
23$1.3旋转变换四无数代数使我们能够以简便的形式来表示空间中的有限转动(变换)。这种表示是以下列基本定理[26.409,68]为依据的。定理1.1令A和R为非标量四元数：在此种情况下，量R'-A-RA-1(1. [4)为四元数，其范数和标量部分等于四元数R的范数和标量部分vectR绕轴veotA没锥面旋转二倍角A，便得到久量部分vectR这样，荐证(oeg+ sinA-A(2使ventR绕轴旋转一角度，便得到vootR。证明根据范数的性质，对于范数R我们得到IR'-AoRA-1--IAIR!A1-IRA/IA-1-R(1.15)同理，利用性质（1.2），我们得到sgal R'=saal(ARoA-1)=sjal(A 1-A.R) = sqal R。 (1.16)另外，将R写成R一r。十r的形式，我们就得到下列形式的(1.14)式:A.RoA-1-AoToA-1+AoroA-1(1.17)-To+AoroA-To+r!和R'-ro+r,就是说，运算（1.14）仅仅改变四元数R的矢量部分：veot(A.RoA-1)-A.(vectR).A-1或者r-AoroA-1.(1.18)我们来确定四元数（1.17)矢量部分的变换特性。以(1.11)的形式米表示四元数R，即R-R,(cosp+esinp)-R(cosp+ssinp)。于是，根据1.17)，我们有
24a1.7veotR'-r'-Ao(Rsin @).A-1- RsinP(A-cA-1) - Re'sin g。为了指明单位久量8变换的几们性质，假定（图1.7）e-icos+isinp,而四元数A的矢最指向辅，即一寻，在这和情说下，有E-A-A1(AA-)cs(A.A)n因为Vaot和平行，所以，A-AA-1，对于，我们布98192AoiA-1+isinisincos0222T9293+igsinijsinPOS222H989.sinz82siniCOSCOS2.222即单位矢变为单位矢is-iacos9+isin8这个单位欠是如此得到的，即：使单位矢绕轴让（即绕按正向旋转一角度。相应地，e一让cos中+言sin中变为eicos山+isin中,就是说，绕轴沿锥面旋转--角度9，+is(2ainsing)疏说为：一校若
35因此证明，在变换（1.14)时R的失量部分是绕轴voctA沿锥面旋转的。运算（1.14）仅仅改变四元数的矢量部分，因此，可把它看成是失量变换成的运算（以（1.18)的形式写出）、既然四效的范数不会由于变换（1.15)而改变（见（1.15）式），所以失量长（即它的模数r-VR--V++也保持不变：r-VR-()"-R.--rH此可见，变换(1.18)是正交变换。根据拉定1，任何正交变换部是绕某一轴的旋转。变换（1.18)可立即确定该旋转轴这个轴就是votA一入，内为，只有这个轴不为下列变换所政变：2-A.AOA1-A.1-I2-根据这点，我们将运算（1.18)租(1.14)称之为旋转遂算（旋转变换）。下面我们给出变换（1.14)的整标表达式。假定R-To+ri+ri+r,R'-+ri+r+Ti和A+++完成乘法（1.14)并使四个单位的各项相等，便得到以四元数R分最的线性函数表示的四元数R'的分量：r=ro+1+ 2() 2+ 2(),ma13A2A2rh= 2(A+2o) r1+强--2+2(Mh-0) re,A2A2A2a- 2(mhg= o) 1 + 2(aath01) +3A242A2(1.19)可以验证，四元数失量部分的分量变换行列式等于一当表示旋转变换的四元数为规范化四元数（AA"-1和原误为R，一一校者