16量代数[2中解释的两欠量的标量和矢量积分别等于：x-μ= -sqal(2oμ),(1.7)xu=vect(Aoμ)（点“"表示标量积，符号×表示欠盐积，而符号。表示四元数乘法）。i2元图1.2因子的位置互换不改变乘积的标量部分，而改变单位尖记的方向由此可见：sqnl(noμ)-sqal(uox), vect(oμ)=-veot(uox)山所得关系式可以得到：2sqal(2oμ) -2-μ Aoμ+μo2,(1.8)2Vect(2oμ)-2A×μ-2oμ-μox我们利用标量积和矢积的符号，将两个四元数的乘法公式(1.1)写成下列形式：oua-μ+axμ(1.9)AMAuo-μ+Au+μoa+^×这些关系式建立了矢量代数与四元数代数之间的对应关系。最后，我们研究二个矢量的乘法公式。借助于（1.2)，我们得到：sqal(Aoμov) =sqal(μovoa)=sqal(vonoμ) 为(μc)—（—)（μ)(—）μ，元数与其共轭四元数的标量部分相同，而矢量部分符号不间，所以下列等式是正确的：
17sqal(noμov) =sgal(noμop) - -sal(veμon),vect(nouov) =-yect(2oov) --- veot(voμo) 。81.2四元数在球面上的表示具有实的任何四元数A++ii都可表成下列形式：A=A(+++)=A(1.10)A4A式中，V并称之为该四元数的张量。妮然，单位四元数的张量等于1。量+六称为该四元ATA数的回量；回量的涵义将在以后解释，现在我们仅指出，它是个范数等于1的四元数。我们引入一个按失量入定向的单位矢量入i+i+ig1一月++信V+2+店考虑到这一矢量，回量的矢量部分可以写成下列形式，AA注意到，回量的标量部分的平方与的系数平方之和为一，我们引入下列变数：++20sin-0元COB9-A考虑到这些符号，四元数（1.10）可用下列形式表示：(1.11)A A(cos8+Lsino)在四元数表达式（1.11)中，角的符号取决于单位失量的符号选择，即其方向的选择（实际上，在和sin9的表达式中都应标上符士）；但这里我们暂不确定选择角8正方向和单位失正方间的唯一性。公式（1.11)中四元数的表示是方便的，因为这种表示方法便于求出方程”M的根。实际上，由于一=（我们假延
-18通过计算直接证明了这一点），所以A2AA=A2(cos8+sin8)2-A2(cos28+Lsin28),而楼阿伏尔公式A"-A"(cosmg+Lsin ng)对于任何次暴几都是正确的当失量u的指向与矢量相同时，解方程A一M是可能的；在此种情况下，解本身同复数论中相似的方程的解类似，因此，我们不在这里讨论。以公式（1.11）表示四元数还可以得到直观的四元数几何解释。我们研究规范化四元数A=cos9+Lain9该四元数可表示为满足下列条件的某两个失量之积6-11) ab,a=VTal,b=/Tb;2）久量a和6之间的交角等于9；3）平面ab垂直于单位矢量%;4）失量%、6、L构成轴的右旋坐标系（图1.8)。54好RA图1.3考虑到性质1）可写成A=cos8+I sin 8ab cos8+ ab sin 8ai量abcos和absin可分别用标量积a·b和矢量积axb来表示（在右旋坐标系中久量积的结果按失量定向）。这个公式的导数城中模桌佛公式：[r(coa+sin)"=m(coep+isim)的推导完全类似。一一校者
19依此，我们得到A - a.b+a×b sqal (a-b) +veot(a.b)'a]aboabousqal(bca)+veot(b-a),1alJalTal-ba-l.(1.12)从图1.3中可以看出，当尖量，b、构成右旋坐标系时，在从正轴观察的情况下，角元应逆时针方向从向6计算。这里选择的单位矢量的方向以及与之相应的角的正方向，只能山矢量a和6的矢量乘法规则给定；原则上，也可取相反方向米计节角，等等。但在下面我们将遵循这里规定的条件。从关系式（1.12)得出，具有正角8的方向并将矢量a和b端点连接起米的球面（半径α一6）的大阅弧，可与每个规范化四元数A对应（见图1.3）。因此，四元数A可单值地用大圆的弧aroA表示，弧A所在的平面取决于矢量，前弧长取决于角8。四元数的方向由尖量的方向确定；孤A在其大圆上的位置是任意的，就是说，弧滑动的（具有任意的计算起点）。现在我们研究某些特定情况。当80或8元时，相应地四元数A=1或一1，而矢量。可具有任意方向；这种情况是特殊的，因为^一1相当于球面上的任意点，而A一一1相当于圆的任意一半。大圆的四分之一相当于单位天量6。如果aro&对应于四元数A，等于弧（即等于反向弧，因为，在这种情况下，孤的这个方向对于矢量是正的）的aroA则对应于逆四元数，即共轭四元数A-1A=cos8一gin8。与四元数一A对应的是0089sinc08(9)in(0),即从径对称点到点8的弧（见图1.3）。下面，我们研究四元数乘法运算并找出它在球面上的表示。假定给出单位四元数A和M。这两个四元数可用（1.11）的形式和相应长度的大圆弧的形式来表示。四元数的弧aroA位
20于同欠至入调直的大圆上；孤aro班位于欠量优决定的大例上。我们将弧arcA的终点和狐arcM的起点置于这两个圆的交点1（图1.4）。图1.4引入欠量a，，，我们得到A-boa,M--acc-1连接点和常的大圆狐决定着某一四元数N=bc-1。显然，N-boc-1-boa1.ac-1-A-M即球面上各孤的几何加法运算相当于各四元数的乘积：arc班十aroA-aro(A.M)因为四元数A为球面上的滑动弧，所以，A也等于af-（角90和408相等并依角9而定）；同理，d。a-1相当于四元数M由此得出，表示四元数N一MA的弧相当于乘积MA-doa-1oa-f-1-dof-1,即arcA+aroM-arc(MoA)。在这里，可以特别明显地看出，四元数乘法运算时交换因子所发生的情况。当三个大圆孤A、M和N儿何相加时，用类似方法可以得到(图1.5):aroN+arcM+aroA-aro(AMN),这是因为M位于同天的大圆上。一一校者