11表示，邸8）A-sgalA十+vectA=+，式中，为方便起见，矢量部分以普通欠量所采用的形式写出旋数单位的乘法规则，利用下述图示法（图1.1）是容易记住的：按箭头排列的两个单位相乘时，便得到带有正号的第兰个单位；当反向（逆着箭头）移动时，单位便具有负号。图1.1便两个四元数A和M相乘，则得：AoMno-Au-AgAug+(+i+ui)+iii(1.1)+(+g)+uiugjs如果改变相乘顺序，即研究乘积M。A，在乘法公式（1.1)中行列式则将改变，就是说，行入和从互换位置（即改变行列式的符号）。利用公式（1.1)可以证明乘法的基本性质。9）四元数乘法具有可结合性和对加法的分配性。为了证明这一原理，我们研究一下三个虚数单位的乘积，因为对于实数单位这一性质是显而易见的。我们有：(ioi)gi-l,io(igo)--l()o-gol,io(o)-l,(ii)oiiigoi-iz,o(io)=i-i(ioi)oig-igiio(iio)ii(o)go()c(ici)oi--is,(cg)其它乘积可用循环置换法同样地得出（从图1.1说明的乘法规则
127）吞出，这样做是可能的）。由此可见，对于任何四元数等式(AM).N-A.(M.N)都是正确的。同样可以证明：A.(M+N)=A.M+A.N因为等式两端的乘积对应每一单位的分量都是相等的。10）四元数乘法是不可交换的；只有当因子中的一个为标量或相乘因了的失量部分成比例时，才可以交换因子。实际上，研究乘法公式（1.1）可以君出，只有当行列式为零时，才有MM。而只有g=0或g0就入1=，即=时，行列是说，A或M为标量时；或wiuaWg式才可能为零。从公式(1.1)也可得到sqal(A.M) = sqal(MeA)。利用这个关系可以证明：11）当因子循环置换时，四元数乘积的标量部分不变。研究等式sqal[A-(M.N)] -sgal[(M.N)eA] --sqal[M(N.A)] -sqal[(N.A).M],我们得到sqal[A.M.N] sqal[M.N.A] - sqal[N.A.M], (1.2)12）用人表示的下列四元数是与给出的四元数^共轭的：AN0-2可以看出，同四元数之和共轭的四元数等于共轭四元数之和，即(A+M)-A+M因为四元数A和^的尖量部分只是符号不同，所以从性质10）可以得出AoK-N.A.这个乘积称为四元数人的范数并以A表示。从乘法公式
.13(1.1)得出：13因此，四元数的范数为标基；当元1=7=入3=入0=0时，也只能在这时「=0。当范数！=1时，四元数称为规范化四元数。研究乘积（1.1)可以看出，当因子矢量部分的符号改变时，含有入。和Iuo的矢量的符号也改变，而行列式的符号不变。调换行列式中入行和u行的位置，可得到矢量部分符号改变的四元数：(AM);显然，它是从M同人相乘得来的：14）（A。M）=M。A，即同两个四元数之积共轭的四元数等于这两个四元数共钜值以相反顺序所取之积。利用上面得到的规则，考虑到M为标量，可以求出乘积范数之值：15)IA.M-A.M.(A.M)-A.M.M.A-A.M[.A-M|AA-|M[IA!,由此可见，两个四元数之积的范数等于因了范数之积。根据归纳法可以证明，对于n个因子的情况来说，14)和15)两种性质依然不变：(A10A20...0A.) -AoAn-10.-0A1,(1.3)(1.4)IA1AC...OA.-A|A...EA.由所得性质还能得出下列性质：16）仅在因子中的一个等于零时，两四元数之积才等于零。。实际上，如AM0则1AM=0，于是AM！=0。因为和M为标量，所以，后一关系表明：或者A=0，或省|M=0，这只有在A一0或M=0时才有可能。从这一性质还可得出：规范化四元数之积也是规范化四元数。假定，给出两个已知四元数A和M并将四元数N定义为A与M的乘积，即对于双四元数来说，这一点不能得到满足（这是因为双四元数存在着真零因子的缘故一一校者）。这个性质比较确切的应叙述为：仅在相乘的因子中至少有一个为零时，两四元数之积才等于零。一一校者
114N-AM.在乘法公式（1.1)中使单位、、的诸元相等，我们有：Vo - Aoo-A1M1 - Npe Nau3,Vog(1.5)Vg=hou+hao+Agu-Ng,gog+og如果给出四元数N和A（或M），那么为了求出四元数M（或A），必须确定四元数的除法运算。就坐标而言，这种运算同解线性代数方程组（1.5）求未知数（或入）)是等价的；如果方程组的行列式不等于零，解方程组是可能的。如果^是不等于零的四元数，即A0，则根据范数定义13)得^XA0A=-1.HATTAA17）四元数A-1一称为四元数A之选，它满足于下列等式：A0A-1-A-10A-1。根据这一点，在M未知的情况下，方程式N=A。M可用下列方法求解在该等式的左边各乘以A-1，因而得A.NA-10A.M-M-A-1.N.IAT对于^未知的情况来说，我们用类似的方法得到N.MA=N.M-1__M。求出的解同线性方程组（15）的解相当。应该注意到，求A和M的公式是不对称的，这同乘法的不可交换性有关。山于这种修院，不能游四元数除法弱皮头成立A这种对称的形式。还要注意到，得到的解是唯一-的，因为，如果还
15有一个解，例如M，=A-1.N那么，AM,=A。M,即A。（M,-M）一0,出此寸见，M一M=0[见16性质15)表明，如果M=A-1。N，则就其范数来说满足于等式IN!(MA四元数乘积之逆可用下列方法求出：NM.A(A.M)N-1-M-1。A-1TNT-TA.MIMloA和(A1A..A.)---(AA..A.)TAr-A,c...oA.(1.6)-A-IoA.--1...0A-1下面将研究具有零标量部分的四元数的乘积，即“矢量”的乘积。根据乘法公式（1.1），我们得到[i=M所得乘积的标量部分和矢量部分等于：8qal()(u+g+a)和乱iiveot(Aoμ)-1 ag为了得出三维基，，（图1.2）的几何解释，假定A-i,μμ(iicosf+i sing)。这些叫元数之积等于Aoμ-au(-cosg+igsing),由此我们有sqal(2μ)-Acos8Vect(aoμ)-isnusinf,研究轴让、、的右旋正交系（见图.2)可以看出，普通失