前言刚体角运动古典理论的主要结果是在上一个世纪取得的。为了描述刚体绕固定点的运动，曾提出诸如罗得里格-哈密顿参数、凯里-克莱茵参数，欧拉-克雷洛夫角和方向余弦之类的许多运动参数。当时，研究人员都致力于寻求方程的简便表示形式和探讨运动的可积分情况。此后，研究的重心移到陀螺的应用理论方面。这时，刚体的运动仅由欧拉-克洛夫角给定，后者在所有的力学著作中，其中包括研究运动对象控制的著作中，已经获得广泛的应用。此外，在理论著作中还采用了短阵方法；这时，物体的状态由方向余弦给定。描述角运动的其它方法，主要是为了叙述的完整而提了一下。在最近十来年里，情况发生了变化。飞行体控制系统的发展，数字计算机在运动控制中的应用，使得合理描述各种控制问题中刚体的空间运动有了实际意义。属于这类问题的，特别是建立捷联式惯性系统以及建立刚体空间转弯、定位和稳定控制系统。在这些问题中利用欧拉-克雷洛失角有某些不便之处。任何一个角系统，本质上都是模拟某一常平架。在一定的角度下，会发生反映常平架框架的重合效应的运动学方程的退化。这种退化并不是由加给刚体角运动的实际物理限制引起的。此外，运动方程的积分和欧拉-克雷洛夫角坐标变换都涉及到三角运算，而这些运算会降低电了计算机的使用效率。在所有的运动学参数中，罗得里格一哈密顿和凯里一克莱茵参
数占有特殊的地位。与欧拉角不同，这些参数不论刚体处于任何状态都不会退化，其数目等于四，因此，与方向余弦（有六个）不同，它们只有一个连系方程。所有这一切都使运动学方程的数值积分问题得到简化。此外，罗得里格-哈密顿和凯里-克莱茵参数使得有效地解决刚体有限旋转理论、受控运动稳定性等许多问题有了可能。尽管有这样的优点，利用这些参数仍然是复杂的，这是因为它要应用有限旋转欠量理论或者进行立体平面投影和没有简单儿何意义的单式变换。而应用四元数能够建立使用罗得里格一哈密顿参数的极其方便和直观的形式体系。1843年，B.P哈密顿首先在数学中引入四元数。从1838年起，他开始研究他所建立的四元数理论，力求为研究空间儿何找到类似解决平面问题中我们以复效形式使用的挪种简便方法。他的工作成果是两本书：“四元数讲义”55]和“四元数基础"[54]。以后，研究四元数理论的有工，凯里和.克莱茵。但直到最近，四元数还没有得到任何实际应用，而是作为四维线性代数的形式数学模式的范例。本书中介绍了作者应用四元数研究刚体角运动方面的有关工作。在以四元数乘法运算表示正交变换的基础上，发展了正交变换和刚体有限转动理论的形式体系。并在建立四元数的形式体系同其它运动参数联系方面作了尝试。详细地研究了运动学方程的一般性质。提出了推导这些方程的一般方法，这种方法适用于各种运动学参数并很好地说明了这些参数的物理意义。利用四元数能够以统一的矢量形式来表示决定角速度矢量的无限小旋转以及作为有限转动的任意变换。四元数为研究刚体运动学提供了非常方便的T具，原因是四元数单位具有两重性：一方面，它是实际三维空间的单位尖；另一方面，它又是变换算子。由
8于四元数的这种性质，罗得里格一哈密顿和凯里一克莱茵参数得到了简单明了的物理内容。本书还探讨了在控制刚体运动的实际课题中应用角运动运动学的问题。详细地研究了运动学方程的数值积分问题和运动学参数（特别是四元数元素）在控制中的应用问题，也探讨了空间转弯最佳化问题的若于特定情沉。作者的目的在于说明在一般理论问题或刚体运动控制的实际问题中应用四元数这一数学工具的可能性，并使飞行器运动控制系统、捷联式系统方间T作的人们以及所有对刚体力学的一一般问题感兴趣的人们，重视这一强有力的工具
第章四元数及其性质$1.1四元数代数将三维欠量代数运算推广到乘法和除法运算的必要性，促使哈密惯（1843年）建立了四维数或四元数的代数[54,55。所谓四元数，是指由一个实数单位1和三个虚数单位让，，组成并具有下列形式实元的数：A（)=我们先来叙述决定四元数运算的基本公设。1）如果两个四元数A和M的谐元和等，即入u（一0，12，3)，则这两个四元数相等。2）四元数A和M之和为四元数，其诸元为入+叫：+M()l+(+)+()+()3）当四元数A乘以标量α时，其所有各元都乘以该数：aA=anl+ani+anis+angis特别是，四元数^的负数将是-A=1-i1-30而零是四元数（0，0，0，0）。从这些定义得出，四元数加法以及四元数同标量的乘法都服从于一般代数规则：4)A+M-M+A,(A+M)+N-A+(M+N);5)aA-Aa,(ab)A-A(ba);6)(a+b)A=aA+bA,a(A+M)-aA+aM.哈密顺用，，表示三个虚数单位，但是，为了叙述上的方便，我们利用月凯里采用的符号：，，3。我们注意到，可以把超复数进-一步推广到？本身亦为复数时的情识。这样构成的数称为双四元数，并已用于描还刚体的螺旋运动。本书中不研究双四元数
10单位1、可以看成是用符号耳表示的四维空间中的欠量（单位欠）。于是，任何四元数都可用点或欠径在该空间中表示出来。在空间耳中四元数的相加以及四元数同标量的相乘，和在普通失量空间中是一样的。空问耳的特点在于，就乘法和除法运算来说，它是封闭的。7）为了求出四元数之积，必须给出单位1，，，的乘法规则。这些规则如下：lci=ioli,liigoli,o-igoli,1olli=-1,1,r-1,g在这样的乘法规则下，两个四元数之积仍为四元数。乘法规则是非常成功的，由于有了这种乘法规则，四元数代数包括实数和复数代数以及三维久量代数。。在三维空间中，四元数含有具有唯-单位1的实数（a，0，0,0)具有两个单位1、的复数（α，6,0,0)和失量（0，，6，c)。但若实数和复数构成数域（即经加法、乘法和除法重新给出所讨论的数集的元），则两失量之积，正如下面将要证明的一样，已经不是天量，而是四元数。乘法规则7）表明，乘以1不会使四元数改变，就是说，分量1保持普通标量的性质；由于这种缘故，以后在四元数的表达式中，第一项（）将不写出单位。其次，可将单位、、语看作是三维失量牵间的单位矢。，而将这些单位的系数看作是失量的分量。因此，我们将四元数表示为标量部分和失量部分之和，而这两部分分别用sqalA和veotA当按上述规则定义了它的乘法后，它就构成了实数域上的4阶不可易代数，这一代数就称为四元代数。下述性质7）表明，它还是一个可除代数，即是一个广城。并且可以证明：实数域和四元广域是实数域上仅有的可解的可除代数。校者因为荐引人单位i的正交变换致（-c)，则由正交性CxCu一可以看到，，也服从于四元数单位的乘法规则：iigo--Ccm=-1,og=-car+C21CaCcnf:+C12ia+e1aig=i等等。CstCsoC3s