平稳时间序列的统计定义满足如下条件的序列称为严平稳序列严平稳V正整数m,Vt,t2,,tET,正整数t,有Fr (X,X2,)= F(Xi,X2,*,xm)A满足如下条件的序列称为宽平稳序列宽平稳1) EX? <0, VteT2)EX,=μ,u为常数，VteT3)y(t,s)=y(k,k+s-t), Vt,s,k且k+s-teT
平稳时间序列的统计定义 严平稳 满足如下条件的序列称为严平稳序列 宽平稳 满足如下条件的序列称为宽平稳序列 正整数m, t 1 ,t 2 , ,t m T，正整数，有 ( , , , ) ( , , , ) t 1 ,t 2 t 1 2 m t 1 ,t 2 t 1 2 m F x x x F x x x m = + + m+ t s k k s t t s k k s t T EX t T EX t T t t = + − + − = ， 且 为常数， 3) ( , ) ( , ) , , 2) , 1) , 2
严平稳与宽平稳的关系·一般关系严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳成立·特例。不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列·当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳
严平稳与宽平稳的关系 • 一般关系 • 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶矩存在）能 推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳成立 • 特例 • 不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严 平稳序列就不是宽平稳序列 • 当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳
平稳时间序列的统计性质·常数均值。自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关·延迟k自协方差函数(k)= r(t,t +k), Vk为整数·延迟k自相关系数y(k)r(0)
平稳时间序列的统计性质 • 常数均值 • 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止 点无关 • 延迟 自协方差函数 • 延迟 自相关系数 k k (k) = (t,t + k),k为整数 ( ) (0) k k =
自相关系数的性质·规范性VkP。=1 ,且[pk|≤1Pk= P-k·对称性PoPiPPiPoPm-2·非负定性.I.为非负定阵，V正整数mF......:PoPm-2Pm-l·非唯一性一个平稳时间序列一定唯一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必唯一对应着一个平稳时间序列
自相关系数的性质 • 规范性 • 对称性 • 非负定性 • 非唯一性 0 1 , 1 , k = 且 k k k = − 0 1 1 1 0 2 1 2 0 m m m m m m m − − − − = ， 为非负定阵，正整数 一个平稳时间序列一定唯一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必 唯一对应着一个平稳时间序列
时间序列数据结构的特殊性。传统统计分析的数据结构：有限个变量，每个变量有多个观察值随机变量XmXi样本1X1......Xml2......X12Xm2:：....nX1......Xmn·时间序列数据结构：可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察随机变量XiX,...样本1XtX1
时间序列数据结构的特殊性 • 传统统计分析的数据结构：有限个变量，每个变量有多个观察值 • 时间序列数据结构：可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察