《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第7章 线性变换

p(a+bn)=o(a +bn)+t(a=+bn)= ao()+ bo(n)+at()+bt(n)= a(α() + t()) + b(α(n) + t(n)=ap() + bp(n)所以+T是V的一个线性变换令=ko，那么对于任意a,bF和任意,nVd(a+bn)=k(o(aε+bn))= k(ao()+bo(n)= ako()+ bko(n)=aΦ()+bΦ(n)所以kg是V的一个线性变换

()( ). ()(( )) ()(( )) )()()()( )()()(     ba a b baba bababa     所以  是V的一个线性变换 令  k ，那么对于任意 ,  Fba 和任意  V, .)()( )()( ))()(( (()( ))     ba bkak bak bakba     所以kσ是V的一个线性变换

线性变换的加法满足变换律和结合律，容易证明，对于任意P,o,TEL(v),以下等式成立：o+T=T+o,2(p+o)+t=p+(α+t)令表示V到自身的零映射，称为V的零变换，它显然具有以下性质：对任意EL(v)有：(3) 0+=0设EL(v),o的负变换一α指的是V到V的映射-0:-0()容易验证，一g也是V的线性变换，并且(4) +(-α)=0

线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对 于任意   vL )(, ,以下等式成立: (1)   ; (2) ()(   ). 令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然 具有以下性质：对任意   vL )( 有： (3)   设 σ的负变换－σ指的是V到V的映射 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且   (vL ),   (:  ). （4） )(  

线性变换的数乘满足下列算律：k(o+t)=ko+kt608(k+l)o=ka+lo(kl)o = k(lo),lg =Q,这里k，/是F中任意数，，T是V的任意线性变换L()定理7.2.1对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间

线性变换的数乘满足下列算律： )5(  kkk  ,)( )6( )(  lklk  , )7( kl  ()( lk  ), )8(  ,1 这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间

7.2.2线性变换的积设,te L(V),容易证明合成映射oT也是V上的线性变换，即oTEL(V).我们也把合成映射o叫做g与T的积，并且简记作gT。除上面的性质外还有：(9)p(o+t)=po+pt(10)(o+)p=op+p,(11)(ko)t=o(kt)=k(ot)对于任意 keF,p,o,teL(v)成立

7.2.2线性变换的积 设 容易证明合成映射 也是V上的线 性变换，即 我们也把合成映射 叫 做σ与τ的积，并且简记作στ 。除上面的性质外， 还有：   (, VL ),    (VL ).  )9(    ,)( (10) )(    , (11)   kkk ()()( ), 对于任意 Fk   vL )(, 成立

证明（9）其余等式可以类似地我们验证一下等式验证。设eV.我们有p(α +t)() = p((α +t)()= p(α() + t()=p(o() + p(t()=po() + pt(E)=(po + pt)(),因而（9）成立

证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地 验证。设  V. 我们有 ( ),)( )()( (( )) (( )) ()(( )) ( )( ) )))(((               因而（9）成立