特别，向量空间V在o之下的象是W的一个子空间，叫做的象，记为Im(α),即Im(α)=α(V)另外，W的零子空间（0在之下的原象是V的一个子空间，叫做的核，记为Ker(o),即 Ker(α)=( eV lo()= O)
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个 子空间，叫做σ的象, 记为 即 另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核， 记为 即 Im( ), ()Im( V). Ker( ), Ker V 0)(|{)( }
设V和W是数域F向量空间，而是一个线定理7.1.2性映射，那么:V→W(i)是满射 ←Im(α)=W(ii)α是单射f Ker()={0)证明论断（i）是显然的，我们只证论断（ii)如果是单射，那么ker(g)只能是含有唯一的零向量，反过来设ker(g)=[0)如果5,neV而o()=o(n)那么a(-n)=()-(n)=0从而≤-neker() = (0)所以=n,即是单射
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线 性映射，那么 (i) σ是满射 (ii) σ是单射 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量. 反过来设ker(σ) = {0}. 如果 那么 从而 所以 即σ是单射. : WV )Im( W Ker }0{)( V而 ()(, ). ,0)()()( 0{)ker( }.
如果线性映射:V→W 有逆映射-1，那么是W到V的一个线性映射建议同学给出证明
如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射. 建议同学给出证明. : WV 1
7.2 线性变换的运算1一、内容分布7.2.1加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2.3线性变换的多项式二、教学目的：掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算掌握线性变换的多项式，能够求出给定线性变换的多项式三、重点难点：会做运算
7.2 线性变换的运算 一、内容分布 7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式 二、 教学目的: 掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的 多项式. 三、 重点难点: 会做运算
7.2.1加法和数乘令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设 ,TEL(v),kF定义：加法: +T:≤(5)+T(3)数乘：ka:→ko()，那么是V的一个线性变换可以证明：+T和k都是V的一个线性变换证明今@=o+t，那么对于任意a,bEF和任意nEV
7.2.1 加法和数乘 令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个 线性映射叫做V 的一个线性变换. 我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成 的集合，设 定义: 加法: 数乘: , 那么是V的一个线性变换. 可以证明: 和 都是V 的一个线性变换. (, ), FkvL , )()(: kk )(: k 令 ，那么对于任意 , Fba 和任意 V, 证明