第4章二元关系和函数 定理414(笛卡儿积与s运算的性质1)对任意的集 合A,B和C,若C≠②则 (A∈B)<(×CcB×C)<X(C×A∈C×B) 该定理中的条件C≠是必须的,否则不能由 A×C≤B×C或C×A∈C×A推出AB。 定理415(笛卡儿积与运算的性质2)对任意的集 A,B,C和D,有 (A×B∈CxD)分>(A∈C∧B∈D) 这两个定理留给读者自己完成证明
第4章 二元关系和函数 定理4.1.4( 1) 对任意的集 合A, B 和C， 若C≠ ， 则 (A B) (A×C B×C) (C×A C×B) 该定理中的条件C≠ 是必须的， 否则不能由 A×C B×C或C×A C×A推出A B。 定理4.1.5( 2) 对任意的集 合A, B, C和D，有 (A×B C×D) (A C∧B D) 这两个定理留给读者自己完成证明。
第4章二元关系和函数 定理4.16对任意非空集合A,B,有 (4×B)cP(P(A∪B)) 证明设(x,y)为A×B中任一序偶,即x∈A y∈B。现需证 (x,y)=t), x, y)EP(P(aU B) 由于x∈A,故{x}∈P(AUB);又由于x∈A, y∈B,故{x,y}∈P(A∪B)。因此,有 {x},{x,y}}cP(∪B) 即{{x},{x,y}}∈P(P(AUB) 事实上,结论对A,B为空集时也真 Bac
第4章 二元关系和函数 定理4.16 对任意非空集合A， B， 有 (A×B) P(P(A∪B)) 证明 设〈x, y〉为A×B中任一序偶， 即x∈A， y∈B。 现需证 〈x, y〉=｛｛x｝, ｛x, y｝｝∈P(P(A∪B)) 由于x∈A, 故｛x｝∈P(A∪B)； 又由于x∈A， y∈B， 故｛x, y｝∈P(A∪B)。 因此， 有 ｛｛x｝, ｛x, y｝｝ P(A∪B) 即｛｛x｝, ｛x, y｝｝ ∈ P(P(A∪B))。 事实上， 结论对A， B为空集时也真。
第4章二元关系和函数 42关系及表示 关系是客观世界存在的普遍现象,它描述了事物 之间存在的某种联系。例如,人类集合中的父子、兄 弟、同学、同乡等,两个实数间的大于、小于、等 于关系,集合中二直线的平行、垂直等等,集合间的 包含,元素与集合的属于…都是关系在各个领域中 的具体表现。表述两个个体之间的关系,称为二元关 系;表示三个以上个体之间的关系,称为多元关系 我们主要讨论二元关系
第4章 二元关系和函数 4.2 关 系 及 表 示 关系是客观世界存在的普遍现象， 它描述了事物 之间存在的某种联系。 例如， 人类集合中的父子、 兄 弟、 同学、 同乡等， 两个实数间的大于、 小于、 等 于关系， 集合中二直线的平行、 垂直等等， 集合间的 包含， 元素与集合的属于……都是关系在各个领域中 的具体表现。表述两个个体之间的关系， 称为二元关 系； 表示三个以上个体之间的关系， 称为多元关系。 我们主要讨论二元关系
第4章二元关系和函数 我们常用符号R表示关系,如个体a与b之间存在关 系R,则记作aRb,或〈a,b〉∈R,否则aRb或〈a,b R。R只是关系的一种表示符号,至于是什么关系, 需要时需附注。同时关系并不限于同一类事物之间, 也存在于不同物体之间。如旅客住店,张、王、李、 赵四人,1,2,3号房间,张住1号,李住1号,王住 2号,赵住3号。若分别以a,b,c,d表示四人,R表示 住宿关系,则有R={(a,1〉,(c,1),(b,2),〈d, 3)}。因此我们看到住宿关系R是序偶的集合
第4章 二元关系和函数 我们常用符号R表示关系， 如个体a与b之间存在关 系R， 则记作aRb, 或〈a, b〉∈R, 否则a b 或〈a, b〉 R。 R只是关系的一种表示符号， 至于是什么关系， 需要时需附注。 同时关系并不限于同一类事物之间， 也存在于不同物体之间。 如旅客住店， 张、 王、 李、 赵四人， 1， 2， 3号房间， 张住1号， 李住1号， 王住 2号， 赵住3号。 若分别以a, b， c, d 表示四人， R表示 住宿关系， 则有R={〈a, 1〉, 〈c, 1〉, 〈b, 2〉, 〈d, 3〉}。 因此我们看到住宿关系R是序偶的集合。 R
第4章二元关系和函数 定义42.1任何序偶的集合,确定了一个二元关系, 并称该集合为一个二元关系,记作R。二元关系也简 称关系。对于二元关系R,如果(x,y)∈R,也可记 作xR 定义并不要求R中的元素(x,y)中的x,y取自哪个 个体域。因此,R={〈2,a),(l,狗〉,〈钱币, 思想〉}也是一个二元关系。因为它符合关系的定义, 但是无意义,显然对毫无意义的关系的研究也无甚意 义。若规定关系R中序偶(x,y)的x∈A,y∈B,如上 面的住店关系,这样的序偶构成的关系R,称为从A到 B的一个二元关系。由A×B的定义知,从A到B的任何 二元关系,均是A×B的子集,因此有下面的定义
第4章 二元关系和函数 定义4.2.1 任何序偶的集合， 确定了一个二元关系， 并称该集合为一个二元关系， 记作R 。 二元关系也简 称关系。 对于二元关系R， 如果〈x, y〉∈R， 也可记 作xRy。 定义并不要求R中的元素〈x, y〉 中的x, y取自哪个 个体域。 因此， R={〈2, a〉，〈u, 狗〉，〈钱币， 思想〉}也是一个二元关系。 因为它符合关系的定义， 但是无意义， 显然对毫无意义的关系的研究也无甚意 义。 若规定关系R中序偶〈x, y〉 的x∈A, y∈B， 如上 面的住店关系， 这样的序偶构成的关系R， 称为从A到 B的一个二元关系。 由A×B的定义知， 从A到B的任何 二元关系， 均是A×B的子集， 因此有下面的定义